线性代数群-序言 (4-1)

Linearalgebraicgroup z² z¹ z³ z⁰＝1

z⁴ z⁵

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一、什么是代数群，代数群可以研究什么？

本文章所涉及的教材主要是 James. Humphreys 的 Linear Algebraic Groups. 此教材主要对代数闭域K 上的仿射代数群进行了详细讨论，而可以证明此时仿射代数群可以嵌入到一个线性代数群 GL(n，K) 中，从而一定程度上我们可以直观地认为代数群 G 就是其某一子群。

一般地，代数群可以用范畴(Category)和概型(Scheme)的语言去定义，但限于笔者水平本文将不涉及，本文中也将忽略许多数学上的细节而仅谈思路，如许多连通性、开闭条件等。在本文中我们所指的代数群一般是一个仿射代数簇G ，其同时为一个群，关于群乘法 m：G × G → G 和取逆 l：G → G 均为 morphism (regular map)，其中代数簇的积为代数簇范畴中的积(与Zariski拓扑的积不同)(如果忽略 G 是一个群，则可以用范畴定义一系列交换图使得 m，l 满足群公理)。

目前笔者所理解的，此教材的最大的目标便是实现约化代数群的分类。此外课本还涉及一些部分半单代数群表示的内容，这些在代数闭域上都有着很轻松的结果。最后一章给出的k ⊂ K 时 k -代数群的结论，其涉及一般的代数几何理论，笔者目前未做深入研究。

二、Humphreys 教材各章节的目标与结果

Chapter1. Algebraic Geometry

本章主要介绍了代数几何中的一些基本概念与一些性质，如代数簇、维数、态射、切空间、完备簇(Complete varieties)。基本定义只需要基础的代数几何知识，其中有部分小节是为后续证明做铺垫，如实现齐次空间 G/H 的方法，还有morphism的性质来辅助后续的证明。第一章中的1，4，6节中的性质后续使用会稍多一些，但是教材中第一章代数几何的部分需要命题的陈述与条件有失严谨并且证明存在恶劣跳步，后续章节使用性质时会标明前文序号，因此使用时再查询亦可。

Chapter2. Affine Algebraic Groups

如同李代数的 A，B，C，D 的四类结构，教材给出了四类典型的代数群结构。在第8节中，教材给出了代数群作用(同样是态射)的一些性质，包括稳定化子、轨道等的拓扑。由于群在线性空间上的作用可以导出群同态，8.5节中我们需要具体化一个群G 在 K[G] 上的作用，最终在8.6得到了任意仿射代数群可以嵌入 GL(n，K) .

Chapter3. Lie Algebras

在此章中我们实现了代数群的李代数的定义与性质。同样地，类似于微分流形中的做法，我们可以将代数群的李代数等同为群单位元处的切空间（代数几何意义上），但是此时李括号将难以定义。我们将李代数视为代数群 G 的多项式环 K[G] 上的导子（当然这样与微分流形上的做法更直接接近了）此时便可以定义李代数的结构，且与切空间同构。

第10节中的微分的计算有许多小的结果，对后文中许多计算有辅助作用。需要着重关注 Translation 和 Adjoint representation 的结果，后续定义一般的 semisimple elements 与 unipotent elements 需要K[G] 上G - Translation 的观点。而 Ad 表示更是重点研究内容。

Chapter4. Homogeneous Spaces

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