集合论的力迫应用性质 (2-2)

此时考虑一个Σ₂语句∃x∀yP(x，y) 我们想证明这个语句等价于形如(∃κ)(Hκ╞ ψ)的语句. 我声称∃x∀yP(x，y)等价于(∃κ)(Hκ╞ ∃x∀yP(x，y)). 注意到，根据Levy的引理，∀yP(x，y)在任何Hκ(κ不可数)和V之间都是绝对的. 如果∃x∀yP(x，y)为真，那么它就有某个见证, 即一个对象a，使得∀yP(α，y)为真. 这个a存在于某个Hκ中，所以(∃κ)(Hκ╞ ∃x∀yP(x，y))成立. 同时，如果(∃κ)(Hκ╞ ∃x∀yP(x，y))成立，那么它在Hκ中的见证也是它在V中的见证 (用的还是Levy引理).

(3-＞2) 如果一个集合的transitive closure的基数小于κ，那么这个事实在任何Vθ ⊋ Vκ中就能正确判断. 这是因为见证一个集合transitive closure基数的双射总是会出现在Vκ内. 所以如果Vκ认为一个集合x在Hκ内，那么x就真的在Hκ内；反之亦然. 所以形如(∃κ)(Hκ╞ ψ)"这样一个语句，就等价于(∃θ)(Vθ╞ (∃κ)(Hκ╞ ψ)).

(2-＞1) "Vθ"是一个Π₁项，而"(Vθ╞ ψ)"是一个关于θ的Δ₁语句. 所以(∃θ)(Vθ╞ ψ)是一个Σ₂语句.

证明结束

一个应用：我们说κ是Σₙ-reflecting的, 当且仅当κ是强不可达基数并且Vκ ≺ₙ V. 现在我们声称：如果κ是Σ₁-reflecting的, 那么存在一个力迫扩张，使得κ是Σ₁-reflecting但不是Σ₂-reflecting.

证明：

假设M╞ κ is Σ₁-reflecting. 我们先找到力迫扩张M[G]使得M[G]╞ GCH＋κ is Σ₁-reflecting. 我们可以用Πα∈Ord Col(⊐⁺α，⊐α₊₁) (with Easton support). 这个力迫会使得扩张中GCH为真，并且κ仍然是强不可达基数. 具体原因详见Jech或者Kunen的力迫法章节.

(如果我们不在意最后的扩张是否是M的扩张, 那么上面这个步骤可以直接通过转移到Lᴹ中即可，因为我们只是想要满足GCH的同时保存强不可达性).

注意到，如果κ是强不可达基数，那么Vκ＝Hκ，所以根据Levy的引理，Vκ ≺₁ V. 所以在M[G]中，我们仍然有Vκ ≺ V. 在M[G]中，我们再次力迫，使得2κ＝κ⁺⁺ (把得到的力迫扩张叫做M[G][H]). 力迫2κ＝κ⁺⁺也保存了κ的强不可达性以及Vκ. 所以在最终的扩张M[G][H]中， GCH为假. 但是由于Vκ在M[G]和M[G][H]之间没有改变，所以(Vκ)M[G][H]满足GCH.

然而"GCH为假"是一个local property (我们只要到足够高的Vθ中就能验证它)，所以这是一个Σ₂语句. 所以在M[G][H]中，Vκ ⊀₂ V.

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