德勒兹论文1（一） (6-5)

他接着指出，有两种可能的方法推广二次互反律。第一种，推广到任意域上的任意代数整数。第二种，允许更普遍的同余，不只是平方，还包括其他的幂（注：指推广到p是模q下的高次幂）。他指出这已经用代数方法实现，但补充道Hecke提供了用θ函数导出更一般的互反律的分析学手段。这里我们定义，

m＝＋∞

θ(τ)＝∑ e⁻πτᵐ²

m＝–∞

注意到函数奇点在τ = 2ir，r为有理数，但是对于每个这样的r，θ(τ + 2ir)都取有限的值，即高斯和C(−r)（只差系数）。现在，我们考虑θ函数的变换性质。

1 1

θ(─)＝─θ(τ)

τ √τ

这告诉我们在C(r)与 C(−1/4r)之间有互反关系，由此易得通常的二次互反律（注：只需要取τ=2ir+ε，然后令ε→0）。

洛特芒称：

“这种关于元素间互反性的辩证理念可以如此清楚地在它的算数实现与分析实现之中辨认出来，以至于可以找到一定数量的数学理论，在其中，该理念以类似的方式实现自己。”

在我们看洛特芒在什么别的地方看到互反理念的实现之前，我们应当注意到，对洛特芒来说，把辩证的理念和它的各种实现清楚区分开很重要。再一次，我们可能会想要探究，20世纪30年代的数学无法捕捉或至少无法接近互反这一概念本身的原因是什么。在当时，找到能涵盖互反概念的所有数学实现的框架似乎是一个遥远的前景，尤其是当时洛特芒接着引用André Weil离他晚近的一些作品，指出在互反律与庞加莱对偶之间有着一些联系，这种对偶将m维同调（homology）与n维流形上的n-m维上同调（cohomology）联系起来，其在特定种类的流形中蕴含互补维数的同调间的简单联系。罗特芒又一次杰出地选择了他的研究案例，二次互反律与庞加莱对偶确实有着共性，而这点与伽罗瓦思想有着重要联系，我将简单叙述一下。

在后来的1970年代，Barry Mazur与David Mumford注意到代数数域的理想，与3维流形中的链环（links）之间强而有力的类比，如下所示。从平展上同调（Étale cohomology）的观点来看，整数ℤ ，或不如说，其概形Spec( ℤ )，似乎类似于三维球，而一个素数p对应的概形 Kₚ＝Spec( ℤ /p ℤ )，则似乎类似于这个球面的一维子流形。将纽结理论的概念转移到代数数论，或许可以产生重大进步。庞加莱对偶可以定义两个“纽结” Kq 与 Kₚ 的链环数，在这个框架中，二次互反律相当于这样一个事实，即扭结A和扭结B的链环数与扭结B和扭结A的链环数相同（Waldspurger 1976）。

在洛特芒在世时，L-函数互反律与庞加莱对偶联系起来以后，这一故事在分析学的部分也变得丰富起来。这里我们将要触及到当代数学中最热门的领域，不朽的朗兰兹纲领与格罗滕迪克的动机（motive）。洛特芒对数学统一性的感觉极端敏锐，不过再一次，一个问题随着阐明数学实在的工作不断成功而来：在此处自我显现的思想中，哪些并非是数学范畴的？尽管我们还没有取得囊括一切对偶形式的全面数学体系，但至少有一种强烈的感觉，比起其所有的实现，对偶的理念本身可以被数学方法直接处理。再一次的，这涉及范畴语言（与它的高阶表亲）。对偶经常能用等价性表达。

劳威尔（Lawvere）与罗斯伯格（Rosebrugh）在他们的著作《为了数学的集合论》（Sets for Mathematics, 2003）第七章中介绍了一个有用的，关于“形式”对偶与“具体”对偶之间的区别。形式对偶只是把相关图表中的箭头翻转过来，故而：

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