相对论与黎曼几何-4-内蕴几何 (4-3)

罗巴切夫斯基在1830年发表他的非欧几何论文。无独有偶，匈牙利数学家鲍耶·亚诺什（JánosBolyai，1802-1860）在1832年也独立地得到非欧几何的结论【3】。

那段时期也正是高斯发展他的内蕴几何观点之时，同是几何研究，这位号称数学王子的天才，不可能不思考非欧几何的问题，他对罗巴切夫斯基等的工作，又是如何看待的呢？

匈牙利数学家鲍耶的父亲，正好是高斯的大学同学。当父亲将鲍耶的文章寄给高斯看后，高斯却在回信中提及自己在三十多年前就已经得到了相同的结果。这给予鲍耶很大的打击和疑惑，甚至怀疑高斯企图盗窃他的研究成果。但实际上，从高斯的文章、笔记、书信等等可以证实，高斯的确早就进行了非欧几何的研究，并在罗巴切夫斯基与鲍耶之前，已经得出了相同的结果，不过没有将它们公开发表而已【4】。

图2-3-5：非欧几何鼻祖：（从左到右）高斯、罗巴切夫斯基、鲍耶

早在1792年，15岁的高斯就开始了关于平行公理独立性的证明。他继而研究曲面（球面或双曲面）上的三角几何学，17岁时就深刻地认识到：“曲面三角形之外角和不等于360°，而是成比例于曲面的面积”，这可以说是高斯- 博内定理的早期版本。1820年左右，高斯已经得出了非欧几何的很多结论，但不知何种原因，高斯没有发表他的这些关于非欧几何的思想和结果，只是在1855年他去世后才出现在出版的信件和笔记中。有人认为是因为高斯对自己的工作精益求精、宁缺勿滥的严谨态度；有人认为是高斯害怕教会等保守势力的压力；有人认为高斯已经巧妙地将这些思想包含在他1827年的著作中【5】。

意大利数学家贝尔特拉米在1868年证明，非欧几何可以在欧几里得空间的曲面上实现。比如罗巴切夫斯基和鲍耶的几何就是双曲面（也叫马鞍面）上的几何，而将第五公设改变成“通过特定的点没有平行线”的话，则能得到球面几何。因此，的确可以说，高斯已经将他的非欧几何思想蕴涵在他的内蕴几何中。

参考文献：

【1】CarlFriedrich Gauss (Author), Adam Hiltebeitel (Translator), James Morehead(Translator), General Investigations Of Curved Surfaces Unabridged (Paperback),Wexford College Press, 2007,

【2】Geometricalinvestigations on the theory of parallel lines. Halstead, G.N. (tr.). 1891.Reprinted in Bonola: NonEuclidean Geometry 1912. Dover reprint 1955.

【3】MartinGardner, Non-Euclidean Geometry, Chapter 4 of The Colossal Book of Mathematics,W.rton & Company, 2001,

【4】GAUSS CF. Werke IV [M ]. Gottingen: Kêniglichen Ge2 sellschaft der Wlsse Nschaften,1880: 2172258; Ⅷ 226; 381; 442; 4352436; 182.

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