相对论与黎曼几何-4-内蕴几何 (4-2)

高斯发现了高斯曲率是一个曲面的内在性质时，一定是无比兴奋和激动的，情不自禁地将他的结论命名为“绝妙定理”：三维空间中曲面在每一点的曲率不随曲面的等距变换而变化。意思就是说，高斯曲率是一个内蕴几何量。

绝妙定理绝妙之处就是在于它提出并在数学上证明了内蕴几何这个几何史上全新的概念，它说明曲面并不仅仅是嵌入三维欧氏空间中的一个子图形，曲面本身就是一个空间，这个空间有它自身内在的几何学，独立于外界3维空间而存在。

图2-3-4：内蕴几何是测地员（或“爬虫”）观察到的几何

如图2-3-4b所示，内蕴几何是生存在各种类型曲面空间中的“爬虫生物”所观察到的几何。图中所示的曲面空间有三种：平面、球面、及双曲面。平面是一个2维的欧氏空间，而球面和双曲面则是非欧氏空间，这使我们联想到也是在那个年代发现的非欧几何，即罗巴切夫斯基几何，或双曲几何。

尼古拉·罗巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky，1792-1856）是俄罗斯数学家，非欧几何的创始人【2】。

欧几里德几何是一个基于公理（或共设）的逻辑系统，公理犹如建造房屋时水平放在基底的大砖头，有了牢靠平放的基底，其它的砖块便能够一层一层地叠上去，万丈高楼也就平地而起。基底砖块破缺了，或者置放得不水平，楼房就可能会倒塌。在逻辑系统中的数条公理，应该是公认的、显而易见的、确认无法被证明的一些假设。作为欧氏平面几何大厦的基底有五条公理，其中第五条公理是论及平行线的，也称为平行公设，它说的是：

“若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。”

人们对前面四条公理都没有什么疑问，唯独对这第五条公理没有好感，总觉得它说起来拗口，听起来不是那么显然和直接。数学家们并不怀疑它的正确性，而是觉得它不像一个不证自明的公理。大家的意思就是说，欧氏平面几何的大厦用前面4块大砖头可能也就足以支撑了，这第五块砖头，恐怕本来就是放置在另外四块砖头之上的。因而，欧氏几何创立以来，许多几何学家都曾经尝试用其他4条公理来证明这条公理，但却都没有成功。这种努力一直延续到19世纪初，1815年左右，年轻的数学家罗巴切夫斯基也开始思考这个问题。在试图证明第五公设而屡次失败之后，罗巴切夫斯基采取了另外一种思路：如果这第五公设的确是条独立的公理的话，将它改变一下会产生什么样的结果呢？

第五公设也可以有另外一种表达方式：“通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。”罗巴切夫斯基巧妙地将这一条公理的表述改变如下：“过平面上直线外一点，至少可引两条直线与已知直线不相交”。然后，将这条新的“第五公设”与其它的公设一起，像欧氏几何那样类似地进行逻辑推理，推出新的几何命题来。罗巴切夫斯基发现，如此建立的一套新几何体系，与欧氏几何不同，但却是一个自身相容的，没有任何逻辑矛盾的体系。因此，罗巴切夫斯基宣称：这个体系代表了一种新几何，只不过其中许多命题有点古怪，似乎与常理不合，但它在逻辑上的完整和严密却完全可以与欧氏几何媲美！

可以列举几条罗氏几何中的古怪而不合常理的命题：同一直线的垂线和斜线不一定相交；不存在矩形，因为四边形不可能四个角都是直角；不存在相似三角形；过不在同一直线上的三点，不一定能作一个圆；一个三角形的三个内角之和小于180度……等等。

从这种反证法能得到不同几何体系的事实，说明第五公设是一条不能被证明的公理。从此以后，数学家们不再纠结于第五公设的证明。然而，由于罗氏几何得出的许多结论和我们所习惯的欧式空间的直观图像相违背，罗巴切夫斯基生前并不得意，还遭遇不少的攻击和嘲笑。

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