博弈论 (4-4)

当这篇论文完成时，我在1927年1月10日看到了波雷尔的论文。波雷尔给出了对称二人博弈的双线性形式问题，并指出MaxMin＜MinMax 极大极小是已知的。我们以上的结果回答了他的问题。

极大极小定理（如冯·诺伊曼1928年的结果）提供了保证极小极大不等式也是一个等式的条件，即：

sup inf f(z，ω) ≤ inf sup f(z，ω)

z∈Z ω∈W ω∈W z∈Z

冯·诺伊曼的极小极大值定理也就是说，具有有限多个纯策略的两人零和博弈在Maximin和Minimax 策略相同的情况下有解。这可以保证玩家在最坏的情况下最小化可能的损失。

以后的研究

1937年，冯·诺依曼利用LEJ布劳维尔关于紧凸集连续映射的不动点定理，提供了一个纯粹的拓扑证明，证明了一般竞争均衡的存在，这个证明比他1928年的论文更清晰、更简洁：

von Neumann, J. (1937). ‘Über ein Oikonomisches Gleichungssystem und eine Verallgemeinerung des Brouwerschen Fixpunktsatzes’ in in Menger, K. (ed). Ergebnisse eines Mathematischen Seminars. Vienna.

温特劳布（Weintraub）后来称这篇论文为“数学经济学中最重要的论文”，因为它是：

1. 现代一般均衡模型存在性证明；

2. 线性规划和对偶不等式系统；

3. 高速公路收费理论；

4. 不动点理论的起源。

极大极小定理的第一个纯初等证明是在冯·诺伊曼1937年的论文之后的一年，博雷尔的学生让·维勒（Jean Ville）证明同样的结果：

Ville, J. (1938). ‘Sur le théorié générale des jeux où intervient l’habiliité des joueurs’. In Borél et al (ed.), vol. 4. Applications des jeux de hasard, p. 105–13.

在同一章中，维勒还首次证明了可能的纯博弈连续体情况下的极大极小定理。

博弈论与经济行为

冯·诺依曼1928年和1937年的论文，简要指出博雷尔和维勒的证明，在冯·诺依曼和摩根施特恩1944年的著作《博弈论与经济行为》出版之前，关于博弈均衡的定义和存在性的正式研究相对较少。两人于1938年在普林斯顿第一次见面，但直到1939年才开始讨论博弈论，之后在1941年至1944年期间进行了密切合作，编写了第一本关于博弈论的长篇著作：

von Neumann, J. & Morgenstern, O. (1944). Theory of Games and Economic Behavior. Princeton University Press.

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