博弈论 (4-1)

就我所知，不可能有博弈论……没有这个定理……我认为在极小极大值定理被证明之前，没有什么值得发表的——约翰·冯·诺伊曼

匈牙利科学家约翰·冯·诺伊曼（1903-1957）对基础数学、集合理论、量子力学和遍历理论有着重要的贡献，此外，他在计算机、核能和人工智能等方面也深有研究。事实上，冯·诺伊曼在1925年到1950年期间的成果是如此之大，以至于直到今天，他发明的博弈论仍然经常被当作附注提到。

毫无疑问，现代博弈论始于两人零和博弈中的混合博弈均衡，1928年，约翰·冯·诺伊曼提供了一个证明，这篇论文的标题是：《博弈论》。

16年后，他在1944年与奥斯卡•摩根斯特恩（ Oskar Morgenstern）合著的《博弈论与经济行为理论》被认为是博弈论领域的第一本重要著作。本文的目的是向读者解释冯·诺依曼1928年极小极大值定理及其背景。

博弈论

博弈论的历史可以追溯到1713年，当时詹姆斯·瓦德格拉夫（1864-1741）发明了一种纸牌游戏“Le Her”，艾萨克·托德亨特在1865年出版的《概率数学理论的历史——从帕斯卡到拉普拉斯》中描述了这个游戏：

彼得拿着一副普通的牌，他随机给保罗一张牌，自己拿了一张，他们的目标是获得一张比对手更大的牌。

牌从小到大一次是2、3、4……骑士、王后、国王。现在，如果保罗对他的牌不满意，他可以让彼得与他交换。但如果彼得有国王，他可以保留国王。

如果彼得对他发到的第一张牌不满意，或者他对从保罗那里得到的牌不满意，他可以随机从牌堆中换一张牌。但是，如果彼得抽到的牌是王，他就不能得到这张牌，必须保留他不满意的那张牌。如果保罗和彼得最后得到的牌相同，则保罗为输家。——节选，《概率数学理论的历史——从帕斯卡到拉普拉斯》，作者托德亨特。

瓦德格拉夫得出的博弈结论是：

• 彼得保留8以上的牌，并且交换较小的牌的概率为 62.5%

• 彼得交换8及以下的牌，持有更大的牌的概率为37.5%

• 保罗持有7及以上的牌的概率为37.5%

其他早期博弈论分析的例子包括詹姆斯·麦迪逊对不同税收制度下国家的预期行为方式的分析，以及安东尼·古诺在1838年对双寡头垄断下的纳什均衡解的分析。1913年，恩斯特·泽梅洛证明了国际象棋的最优策略是严格确定的，即博弈至少存在一个双方都使用纯策略的纳什均衡。所有这些早期的例子都出现在约翰·F·纳什于1949年发明的非合作博弈论之前。

约翰·冯·诺伊曼1928年的论文

匈牙利约翰·冯·诺伊曼在1926年第一次将注意力转向博弈论，当时他还是哥廷根大学大卫·希尔伯特的学生。冯·诺伊曼自1923年以来一直致力于集合论的公理化，并刚刚开始为量子力学建立严格的数学框架。根据伦纳德的说法：

在1926年的某个时候，冯·诺伊曼提出了他对极小极大值定理的证明，毫不奇怪，这个证明被他同时代的研究所掩盖。

他的方法论显然是从他在希尔伯特集合论中的研究中得到的公理方法。事实上，正如伦纳德所指出的那样，“机会的概念，通过概率的发挥而成为中心”，这与量子力学的非决定论相一致。冯·诺伊曼在他1928年的论文中指出：

概率是游戏本身的内在组成部分，所以没有必要通过游戏规则人为地引入它，它会自我表现。

MiniMax & MaxiMin

从历史上看，人们认为有两种方法可以优化“Le Her”等游戏的结果：

• 保守贪婪的方法（称为maximin）

• 保守激进的方法（称为minimax）

MaxiMin法

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