Hodge理论 (2-1)

Part 1: Brief introduction to Hodge theory

(1) complex Hodge theory

对于一个complex manifold X，由代数拓扑的观点我们想研究它的homotopy type，比如cohomology group, fundamental group(nonabelian)

而在complex geometry里面有一类重要的就是Kahler manifold(example是可以embedding to a projective space的)，Kahler metric 提供了Kahler identity，这在Hodge分解中起到了作用

主要结果如下图，Hodge decomposition是Hodge structure定义的motivation, Hard Lefschetz是某种形式的Poincare duality

Kahler manifolds

X compact Kähler manifold (e.g. X ↪P”)

①Hⁿ(X，Q) carries a Hodge structure

Hⁿ(X，Q) ⨂ C ≃ ⨁ Hᵖ，q，Hᵖ，q＝Hᵖ，q＝Hq(X,，，Ωᵖₓ) p＋q＝n

，────

Hᵖ，q＝Hq，ᵖ.

②Hard Lefschetz：

– ∪[ω]ᵏ ： Hᵈ⁻ᵏ(X，C) ∼→ Hᵈ⁺ᵏ(X，C).

③ nonabelian Hodge theory ⇒ restrictions on π₁(X)(Kähler groups)

入门可以看Voison的Hodge theory and complex algebraic geometry第一卷的前两章

(2) p-adic Hodge theory‬

本质上引入period rings来作为p-adic analogue of complex numbers, 来进行各种cohomology的comparison. 比如de-Rham cohomology, crystalline cohomology, etale cohomology‬

最初的想法来源于对Hodge decomposition的p-adic analogue，Tate在p-divisible groups这篇文章中给出了Hodge-Tate decomposition for p-divisible groups，这里用到的是etale cohomology. 具体的解读可以看这个notes math./ag/alg...

入门可以看Fontaine and ouyang 的Theory of p-adic Galois representations或者Brinon和Connad的notes math./~conr...

Part 2: Applications

• 先说说complex Hodge theory里的核心猜想吧，Hodge conjecture简单概括就是Every Hodge class is algebraic. 这个unknown的东东，我们研究各种各样的版本，比如variations of Hodge structures, integral p-adic Hodge theory(over ring of integers of C_{p}，C是那个complex number)

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