【SEP】数学与哲学唯名论 布埃诺·奥塔维奥（三） (6-2)

此举的问题在于，即使数学虚构主义者在表述完备性定理时不提及数学实体，该定理的证明也假定了集合论（例如，见Boolos和Jeffrey 1989，第131-140页）。因此，虚构主义者不能在不破坏其唯名论的情况下使用该定理。毕竟，提供集合论的保守性的唯名论证明的意义在于表明，在不求助于柏拉图主义数学的情况下，数学虚构主义者能够确立数学是保守的。菲尔德为保守性结果提供了一个柏拉图主义的论证(Field 1980) ——这个论证明确地援引了集合论的属性。这个想法是为了提供一个柏拉图主义的归纳法：通过使用柏拉图主义的数学，菲尔德试图建立数学是保守的，因此，最终是可有可无的。与先前的策略相比，我们的目标是提供一个唯名论者可以接受的集合理论的保守性证明。但由于唯名论的证明依赖于完备性定理，所以根本不清楚它实际上是唯名论的。数学虚构主义者首先应该能够在不假设集合论的情况下证明完备性结果。或者，他们应该为集合论本身提供一个唯名论化的策略，然后使他们有权使用元逻辑的结果。

但可以说，数学虚构主义者只要求证明完备性定理的集合论的保守性。现在应该很清楚，这种回答完全是在窃取论点，因为问题的关键正是要证明集合论的保守性。因此，虚构论者不能假设这个结果在元理论中已经成立。

换句话说，如果没有一个更广泛的唯名论化策略，让集合论本身被唯名论化，似乎很难看到数学虚构主义者如何使用元逻辑的结果作为他们方案的一部分。然而，问题是，至少在菲尔德所阐述的形式上，数学虚构主义的方案能否扩展到集合论，一点也不明显。因为它只为科学理论，也就是为数学在科学中的应用（例如，在牛顿引力理论中）提供了一种唯名论化策略。该方案并没有解决数学本身的唯名论化问题。

原则上，人们可能会反对，这不应该是一个问题。毕竟，数学虚构主义者发展其方法的动机集中在一个问题上：克服不可或缺性论证——从而解决数学在科学中的可应用性问题。而且，如前所述，总体战略是为相关的科学理论提供唯名论的对应物。

然而，这种反对意见的问题在于，鉴于菲尔德策略的性质，如果不把集合论唯名论化，就无法实现科学唯名论化的任务。因此，我们需要的是一种更开放、更广泛的唯名论：一种不仅与科学，而且与元逻辑携手并进的唯名论。就目前而言，数学虚构主义的方法仍然留下了相当大的空白。

3.3评估：数学虚构主义的好处和问题

3.3.1认识论问题

鉴于数学对象不存在，从数学虚构主义的角度来看，我们如何获得关于它们的知识的问题就简单地消失了。但另一个问题反而出现了：是什么区别了一个数学家（对数学有很多了解）和一个非数学家（没有这种知识）？这里的区别（根据Field 1984）不是关于拥有或缺乏数学知识，而是关于逻辑知识：知道哪些数学定理来自于某些数学原理，哪些不是。这样，认识论问题就解决了——只要数学虚构主义者为逻辑提供一种认识论。

事实上，最终需要提供的是一种模态的认识论。毕竟，在菲尔德的论述中，为了避免柏拉图主义对模型或证明的承诺，逻辑后果的概念被理解为逻辑可能性的原始模式概念。只要B和A的否定的结合是不可能的，即¬◊(B∧¬A) ，A在逻辑上就会从B产生。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。