【SEP】数学与哲学唯名论 布埃诺·奥塔维奥（三） (6-3)

然而，这种不可能的判断是如何确立的？在什么条件下，我们知道它们是成立的？在简单的情况下，涉及直接的陈述，建立这样的判断可能是没有问题的。当引用更实质性的陈述时，问题就出现了。在这些情况下，我们似乎需要大量的数学信息，以便能够确定有关的不可能性是否真的成立。例如，考虑到建立选择公理和连续统假设与Zermelo-Fraenkel集合论公理的独立性的困难。在这种情况下，需要构建相当复杂的数学模型，这有赖于特殊数学技术的发展来构建这些模型。在这个阶段，数学虚构主义者所需要的是集合论本身的唯名论化——正如我们所看到的，菲尔德仍然欠我们的。

3.3.2数学的可应用性问题

与认识论问题类似，数学的可应用性问题也被数学虚构主义者部分地解决了。菲尔德提供了一种不需要数学理论为真的关于数学可应用性的说明。正如我们所看到的，这要求数学在相关意义上是保守的。然而，鉴于菲尔德以限制性的方式将非集合论的词汇引入集合论的公理，作为他试图证明集合论的保守性的一部分，目前还不清楚菲尔德是否确立了数学的保守性（Azzouni 2009b，第169页，注47；数学虚构主义方案的其他困难可参见Melia 1998, 2000）。菲尔德使用的是限制性的ZFU，即Zermelo-Fraenkel集合理论，其选择公理被修改为允许Urelemente，即不是集合的对象，但不允许任何非集合理论的词汇出现在理解公理中，即替换或分离（Field 1980, p. 17）。然而，这是一个巨大的限制，因为当数学被实际应用时，非集合论的词汇，当被翻译成集合论语言时，将不得不出现在理解性公理中。正如菲尔德所表述的那样，该证明未能解决数学的实际应用这一关键情况。

此外，也不清楚数学虚构主义者所提出的唯名论化方案是否可以扩展到其他科学理论，如量子力学（Malament 1992）。马克·巴拉格尔对这一挑战做出了回应，他试图按照数学虚构主义的思路对量子力学进行唯名论化（Balaguer 1998）。然而，正如布埃诺（Bueno 2003）所论证的，巴拉格尔的策略与量子力学的一些解释不相容，特别是与巴斯·范·弗拉森的模态解释版本（van Fraassen 1991）不相容。鉴于巴拉格尔的策略援引了物理上真实的倾向性，目前还不清楚它是否与唯名论兼容。因此，量子力学的唯名论化仍然是数学虚构主义的一个主要问题。

但是，即使这些困难都能被解决，也不清楚数学虚构主义者是否提供了一种关于数学可应用性的说明，使我们能够理解数学理论是如何被实际应用的。毕竟，虚构主义的说法要求我们重写相关的理论，为它们找到合适的唯名论版本。这让我们完全无法理解数学应用的实际过程，因为在实际的科学实践中从来没有使用过这种重写。虚构主义者没有参与应用过程的实际特征，而是创造了一个平行的话语，努力为数学在科学中的可应用性提供了一个唯名论的重建。这种重建充其量表明，数学虚构主义者不需要担心数学的应用会增加其本体的问题。但问题仍然存在，即他们是否有能力使数学在科学中的实际使用有意义。这个问题，对于正确理解数学实践至关重要，并且仍然存在。

类似的困难也出现在巴拉格尔的虚构主义版本中（见Balaguer 1998的后半部分）。巴拉格尔依靠的是区分应用数学理论的数学和物理内容的可能性：特别是，这种理论的真理只凭借物理事实而成立，没有数学的贡献。然而，在不实施类似于菲尔德的唯名论化策略的情况下，数学和物理内容之间的区别是否能够被定性，是有争议的。在这种情况下，后者所面临的困难也会延续到巴拉格尔的版本中（Colyvan 2010；Azzouni 2011）。

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