皮亚诺算术 (3-3)

到这一步，应该就易于注意到布尔值模型的构造和上述关于L 作为集合论模型的分析的相似之处了。作用于布尔值模型的脱殊模型基本定理正是告诉我们，于上文类似地，对于任意 ZFC 的公理 φ ， ZFC 可以证明 ||φ||＝1 ，即 σ(⌜φ⌝) ；并且如果有一阶逻辑中的一个证明 m ，其全体前提为 φ₁，. . .，φₙ ，而结论为 ψ ，那么从 ZFC 同样能证明 σ(⌜φ₁⌝)∧· · ·∧σ(⌜φₙ⌝) → σ(⌜ψ⌝)。如果我们能验证所取的特定完备布尔代数 B 还使得对于扩张理论 T ⊇ ZFC 中的额外公理 φ ，比如经典例子科恩力迫所满足的 ¬CH ， ZFC 能够证明 σ(⌜φ⌝) ，那么我们就可以在元语言 PA 中推出“若从 T 能证明 φ ，则从 ZFC 能证明 σ(⌜φ⌝) ”。最后，再如上地考虑表达矛盾的公式 ρ∧¬ρ ，注意到 ||ρ∧¬ρ||＝1 等价于 ||ρ|| · – ||ρ||＝0＝1 ，与布尔代数必须满足的基本性质 p · –p＝0 矛盾，即 σ(⌜ρ∧¬ρ⌝) 依然亦是表示矛盾的公式；于是便可同样得到（元语言 PA 中）“ Con(ZFC) → Con(T) ”的结论。

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