皮亚诺算术 (3-2)

这个缺陷，实际上有数种不同但等价的解决方案，实际上也就是我们在集合论中所说的“对力迫法进行形式化”的不同选择，这里我们选择与前文中关于[公式] 的构造最为近似的构造布尔值模型的方法为例进行解释。对于接下来提及的形式构造以及相关结论的证明，均参考Jech的《集合论》教材第三版：

首先，关于力迫的基本理论告诉我们，任何力迫偏序P 都可以扩张为一个完备布尔代数 B ，这同样由宇宙 V 中的一个集合及其上的偏序构成，但还支持否定、合取与析取这三种运算；且这个扩张不影响对应的力迫构造：对于 P 进行力迫和对于排除最小元的 B \ {0}上的偏序进行力迫会给出同一个力迫模型。于是对于任意一个力迫构造，我们就可以取对应的完备布尔代数 B 并且递归地在 V 中构造真类 Vᴮ ：

Vᴮ∅＝∅

Vᴮα＋1＝∪ˣ B

x ⊆ Vᴮα

Vᴮᵧ＝∪Vᴮᵦ

β∈γ

Vᴮ＝∪Vᴮα

α∈Ord

其中 ˣ B 表示全体由 x 至 B 的函数构成的集合。由 ZF 上的递归定理， Vᴮ 可以像 L 一样由写为全体满足某个一阶公式 η(x) 的集合。同样递归地，我们可以在 Vᴮ 上定义二元运算符 ||– ∈ –||：Vᴮ × Vᴮ → B ，其计算规则由下式给出：

||x ∈ y||＝∑ (y(t)· ∏ (–x(r)＋||r ∈ t||).

t∈dom(y) r∈dom(x)

∏ (–t(r)＋||r ∈ x||))

r∈dom(t)

（该规则可以近似理解为保证了 x∈y ↔ ∃t∈y(∀r ∈ x r ∈ t ∧ ∀r ∈ t r ∈ x) ，参见下方关于逻辑连接符和量词的翻译规则。）进一步地，我们就可以在元语言 PA 中定义一个原始递归的翻译函数 σ ，使得对于任意公式 φ 都有 σ(⌜φ⌝)＝⌜||φ||＝1⌝ ，其中 ||φ|| 为一指代 B 中元素的词项，若 φ 是原子公式 x∈y 则直接定义为上面给出的二元运算符作用在变量 x，y 上的结果；对于其他 φ 则依照复杂度在元语言中递归地定义如下：

||¬φ||＝ – ||ψ||

||ψ∧χ||＝||ψ|| · ||χ||

||ψ∨χ||＝||ψ||＋||χ||

||∃x ψ(x)||＝∑ ||ψ(t)||

t∈Vᴮ

||∀x ψ(x)||＝∏ ||ψ(t)||

t∈Vᴮ

（这里，为简便起见，我们可以将公式 x＝y 视作 ∀t ∈ x t ∈ y∧∀t ∈ y t ∈ x 的缩写，而将 ψ → χ 视作 ¬ψ∨χ 的缩写。）

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