唯物主义和康托尔思想（一） (5-1)

作者：伊恩·赖特

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1874 年，数学家格奥尔格·康托 (Georg Cantor)发表了一篇论文，声称证明了无限的无限层次的存在，每一个无限层次都比之前的无限层次更加广阔，像某种广阔的外星景观一样永远延伸。

康托实现了看似不可能的壮举，超越了无穷大。当然，如果这是真的，那么这是令人震惊的智力成就。

然而，从表面上看，存在更高的无穷大是荒谬的，原因很简单：无穷大的定义比任何东西都大，因此不可能有比它更大的东西。因此，康托的同时代人自然而然地对此感到困惑和怀疑。

但康托尔有一个数学证明。因此，经过激烈的争论，数学家们最终接受了现在被称为康托定理的定理。大卫·希尔伯特是当时最具影响力的数学家之一，他曾说过一句名言：“没有人能把我们从康托尔为我们创造的天堂中赶走”。直到今天，大多数数学家都满足于生活，即使他们不能完全生活在康托尔的天堂里，至少也生活在它的神圣光芒中。

我们是应该像庆祝微积分的发明一样庆祝康托的高等无穷，还是应该像嘲笑中世纪上帝存在的证明一样嘲笑它？非常抽象的数学思想和物质现实之间有什么关系？高等无穷的概念是促进还是阻碍了我们的智力进步？这些都是我在研究康托的思想时想要牢记的更广泛的问题。

康托的证明

除非我们理解了康托的论证，否则我们无法批判性地审视它。所以我将花时间介绍数学。幸运的是，只要稍加努力，康托的证明就很容易理解。

我们将深入探讨一些争议。

幂集

要理解这个证明，我们需要一些集合论。幸运的是，我们不需要太多。所以让我们从定义一个集合开始。

集合只是不同元素的无序集合，其中元素可以是任何东西。考虑一个有两个元素的集合，其中第一个元素是苹果，第二个元素是橙子。我们可以考虑这个集合的子集。子集是包含原始集合部分元素的另一个集合。事实上，我们的集合包含一个苹果和一个橙子，有 4 个不同的子集。一个是空集。一个集合只包含一个苹果。还有一个集合只包含一个橙子。最后有一个集合包含一个苹果和一个橙子。

现在我们可以将这 4 个子集组合成一个集合。这是允许的，因为元素可以是任何东西。所以我们形成了一个由 4 个元素组成的新集合，其中每个元素都是我们原始集合的子集。

我们刚刚做的就是构造所谓的幂集。幂集是集合的所有子集的集合。这是我们理解康托证明所需的第一个概念。

我们需要的下一个概念是集合大小的定义。

集合的大小

包含苹果和橙子的集合的大小为 2，因为它有 2 个元素。正如我们刚刚看到的，它的幂集的大小为 4。

测量有限集的大小很简单：我们只需计算元素的数量即可。但测量无限集的大小并不简单，原因很简单，因为我们无法计数到无穷大。

但无限集仍然对其相对大小提出了疑问。例如，所有偶数的集合显然是无限大的。但我们可能会认为整数集肯定更大，因为它既包含奇数也包含偶数。

但我们真的能确定吗？我们需要一个明确定义的方法来比较包含我们无法计数的元素的集合的大小。康托尔发现了一种精确做到这一点的方法。

他观察到，如果我们能将两个集合的所有元素配对在一起，没有多余的元素，那么这两个集合的大小是相同的。这个想法对应于一种非常实用的数量比较方法。假设我需要将一组长矛分发给我的猎人同伴。他们排成一排，我给他们每人一支长矛。如果最后有猎人没有长矛，或者有长矛没有猎人，那么长矛集合和猎人集合的大小就不相等。但如果它们可以完美配对，那么我们就知道它们是相等的。

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