【SEP】数学与哲学直觉主义（一） (11-6)

由于自然数的有限性与实数等相比，许多在经典数学中是真实的有限性质的算术陈述在直觉主义中也是如此。例如，在直觉主义中，每个自然数都有一个质因数；存在着不可计算的可列举的集合，(A∨¬A)对所有无量词的语句A都成立。对于更复杂的语句，如范德瓦登定理或克鲁斯卡尔定理，直观性的有效性并不那么直接。事实上，这两个语句的直觉主义证明是复杂的，并且偏离了经典证明（Coquand 1995, Veldman 2004）。

因此，在自然数的背景下，直觉主义和经典数学有很多共同之处。只有涉及到其他无穷集，如实数时，直觉主义才开始与经典数学，以及与大多数其他形式的建构主义有更大的区别。

3.4 连续体（The continuum）

在直觉主义中，连续体既是其古典对应物的延伸，也是其限制。在它的完整形式中，这两个概念是不可比拟的，因为直觉实数拥有经典实数所不具备的属性。下面要讨论的一个著名的例子是，在直觉主义中，连续体上的每个完整的函数都是连续的。直观连续体不满足某些经典属性，这一点可以通过弱反例很容易看出。它还包含经典实数不具备的属性，这源于直觉主义中选择序列的存在。

弱反例（Weak counterexamples）

布劳威尔在1908年提出的弱反例，是布劳威尔用来证明从经典数学概念到直觉主义数学概念的转变对根据这些哲学可以建立的数学真理并非没有影响的第一个例子。他们表明，从直觉的角度来看，某些经典的陈述目前是不可接受的。作为一个例子，考虑由以下定义给出的实数序列：

rn= {2⁻ⁿ if ∀m≤nA(m)

{2⁻ₘ if ¬A(m)∧m≤n∧∀k＜mA(k).

这里A(n)是一个可解的属性，对于它来说，∀nA(n)不知道是真还是假。可判定性意味着目前对于任何给定的n，存在（或可以构造）一个A(n)或¬A(n)的证明。在写这篇文章的时候，我们可以让A(n)表示n如果大于2，是三个素数之和，然后∀nA(n)表示（原初）哥德巴赫猜想，每个大于2的数都是三个素数之和。序列⟨rn⟩定义了一个实数r，对于这个实数，语句r=0等同于语句∀nA(n)。由此可见，语句(r=0∨r≠0)不成立，因此，三段论的规律∀x(x＜y∨x=y∨x＞y)在直觉连续体上不成立。

请注意“A在直觉上不是真的”和“A在直觉上是可反驳的”之间的微妙区别：在第一种情况下，我们知道A不可能有直觉上的证明，第二种说法表示我们有一个¬A的证明，一个从任何可能的A的证明中推导出错误的构造。下面我们将证明，即使是第二种更强的形式，即该法则是可反驳的，也在直觉上成立。然而，对于所有存在弱反例的陈述来说，这并不是真的。例如，哥德巴赫猜想是排中律的一个弱反例，因为上述的∀nA(n)目前还不知道是真的还是假的，因此我们不能凭直觉断言∀nA(n)∨¬∀nA(n)，至少在此刻不能。但是对这个陈述的反驳，¬(∀nA(n)∨¬∀nA(n))，在直觉中不是真的，因为我们可以证明，对于任何陈述B，都可以从¬B和¬¬B成立的假设中得出矛盾（因此也可以从B和¬B中得出矛盾）。换句话说，¬¬(B∨¬B)在直觉上是真的，因此，虽然存在排中律的弱反例，但它的否定在直觉主义中是假的，也就是说，它在直觉上是可驳斥的。

实数r的存在，直觉主义者无法决定它们是否为正数，这表明某些经典的总体函数在直觉主义的环境中将不再如前，如片状常数函数：

f(r)= {0 if r ≥0

{1 if r ＜0.

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