元数学：复杂度、随机性与不完备（一） (12-3)

物理学家卡尔-斯沃齐尔（Karl Svozil）对这些问题持以下有趣的立场。斯沃齐尔倾向于经典的决定论，并对爱因斯坦的 "上帝不掷骰子"断言表示同情。斯沃齐尔承认，在目前的状态下，量子理论包含随机性。但他认为这只是暂时的，一些新的、更深层次的隐变量(hidden-variable)理论最终会恢复物理学的确定性与规律性。另一方面，斯沃齐尔认为，正如他所说的那样，Ω表明在纯数学的（不真实的）心理思维幻境中存在着真正的随机性！

纽约市立大学随机性对话，1965 年

作为这个故事的背景资料，我首先要告诉大家，一个世纪前，波莱尔（Borel）提出了随机实数的数学定义，事实上，有无限多的变体定义。他把这种实数称为 "正规（normal）"数。就是这个波莱尔，在 1927 年发明了我们在第五章讨论过的 "全知实数"（know-it-all-real）。1909 年，他证明了大多数实数必须满足他对正规性的所有变式定义。不满足其中任何一个定义的概率为零。

波莱尔对正规实数的定义是什么？嗯，它是一个实数，具有每一个可能的数字都以相同的极限频率出现的特性：从长远来看，正好是 10%。这就是所谓的 "简单"10-normal。而 10-normal tout court 的意思是，对于每个 k，实数的基十展开(base-ten expansion)都有 10k 个可能的 k 个连续数字块（the 10k possible blocks of k successive digits），每个数字块的极限相对频率都是完全相同的 1/10k。所有可能的 k 个连续数字块在长期出现的可能性完全相同，对于 k =1、2、3......，每 k 都是这种情况。最后，还有一种纯粹的 "正规"，即用任何基数（而不仅仅是基十数）书写的实数都具有这种性质。换句话说，"正规"意味着它是 2-normal, 3-normal, 4-normal，以此类推。

因此，大多数实数都是正整数，概率为 1（Borel，1909 年）。但如果我们想展示一个特定的正整数呢？似乎没有理由怀疑 Π 和 e 是正整数，但至今没有人知道如何证明这一点。

好了，以上就是有关波莱尔正规性的背景信息。现在让我们把时间快进到 1965 年。

我是城市学院的一名本科生，刚上大二。我正在撰写和修改我第一篇关于随机性的论文。我对随机性的定义与波莱尔的完全不同。它是我在本书中讨论过的要求更高的定义，基于算法不可压缩性的理念，基于研究计算机程序大小的理念。事实上，它是基于莱布尼茨在 1686 年的一句话，虽然我当时并不知道。这是我在 1966 年和 1969 年发表在 ACM 期刊上的论文。

为了让我把这些东西准备出版，院长让我不用去上课，城市学院很快就传开了，说我正在研究随机性的新定义。原来，城市学院有一位教授理查德-斯通汉姆（Richard Stoneham），我从来没有上过他的课，他对正规数非常感兴趣。

我们在他的办公室见了面，他的办公室位于奇妙的旧石伪哥特式的谢帕德大厅，我向他解释说，我正在研究随机性的定义，这个定义意味着波莱尔正规性，而且大多数实数都能满足这个定义，概率为 1。

他解释说，他有兴趣证明像 Π 或 e 这样的特定数字是正规的。他想证明某些著名的数学对象已经包含随机性，即波莱尔正规性，而不是某种新的随机性。我反驳说，像 Π 或 e 这样的数无法满足我对随机性的更苛刻的定义，因为它们是可计算的实数，因此是可压缩的。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。