“维数灾难”数学原理 (3-1)

深入探讨“维数灾难”概念，并了解高维空间中出现的所有令人惊讶的现象背后的数学原理。

在机器学习领域，处理高维向量不仅常见，而且非常重要。这在流行模型的架构中得到了体现，比如Transformers。例如，BERT使用768维向量来编码输入序列的标记，并更好地捕捉数据中的复杂模式。考虑到我们的大脑难以想象三维以上的东西，使用768维向量是相当令人震惊的！

虽然一些机器学习和深度学习模型在这些高维场景中表现出色，但它们也带来了许多挑战。在本文中，我们将探讨“维数灾难”这一概念，解释与之相关的一些有趣现象，深入了解这些现象背后的数学原理，并讨论它们对你的机器学习模型的普遍影响。

什么是维数灾难？

人们通常认为在三维空间中熟悉的几何概念在高维空间中表现类似。事实并非如此。随着维数的增加，许多有趣且违反直觉的现象会出现。“维数灾难”是著名数学家理查德·贝尔曼创造的一个术语，指的是所有这些令人惊讶的效果。

高维空间的特殊之处在于其“体积”以指数级增长。让我们从1到10的一维线段开始。有10个整数在这条线上。将其扩展到二维：现在是一个正方形，有10 × 10＝100 个具有整数坐标的点。现在考虑“仅仅”80维：你将拥有 10⁸⁰ 个点，这相当于宇宙中的原子数。

换句话说，随着维数的增加，空间的体积以指数级增长，导致数据变得越来越稀疏。

高维空间是“空”的

考虑另一个例子。我们想计算单位超立方体中两个点之间的最远距离（每边长度为1）：

• 在一维（超立方体是从0到1的线段），最大距离是1。

• 在二维（超立方体形成一个正方形），最大距离是对角线上的两个顶点 [0，0] 和 [1，1] 之间的距离，使用毕达哥拉斯定理计算为 √2。

• 将这个概念扩展到n维，从 [0，0，. . .，0] 到 [1，1，. . .，1] 的距离是 √n。这个公式出现是因为每增加一个维度，就在平方根下的和中添加一个1的平方（再次使用毕达哥拉斯定理）。

有趣的是，随着维数n的增加，超立方体内的最大距离以O(√n) 速率增长。这种现象说明了递减收益效应，即空间维数的增加带来的是空间距离的相对较小的增长。接下来的部分将进一步探讨这种效应及其影响。

高维空间中的距离概念

让我们进一步深入探讨我们在前一部分中开始探索的距离概念。

我们首次领略到高维空间如何使距离的概念几乎失去意义。但这究竟意味着什么，我们能否在数学上可视化这种现象？

让我们考虑一个实验，使用我们之前定义的n维单位超立方体。首先，我们通过随机采样生成一个数据集，这实质上模拟了一个多元均匀分布。然后，我们从该分布中采样另一个点（“查询”点），观察它与数据集中最近和最远邻居之间的距离。

以下是相应的Python代码。

import numpy as np

def generate_data(dimension, num_points):

''' 在每个坐标范围内 [0, 1] 内生成随机数据点 '''

data = np.random.rand(num_points, dimension)

return data

def neighbors(data, query_point):

''' 返回数据中离查询点最近和最远的点 '''

nearest_distance = float('inf')

farthest_distance = 0

for point in data:

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