数学联邦政治世界观
超小超大

《绝对无限》还有多少的区别

1.如果扣除ZFC的无穷公理,V_ω就是ZFC-INF的模型。因为V_ω中不含ω,只含任意大的自然数,所以ω就是绝对无限,即ω=Ord。时间是一秒秒按顺序过去的,不能颠倒着过, 所以是序数。显然有a_n=10×2ⁿ和b_n=100×2ⁿ(n∈N)的上确界都是ω=Ord,而Ord是真类,只有集合才能比较基数的大小。所以甲乙两人的财富不可比较,都是一个太大了以至于不能作为集合谈论的大全对象。这个情况下C对。

2.如果承认ZFC的无穷公理,再扣除幂集公理,得到的公理体系以V_(ω+1)为模型。同样道理,a_n和b_n的上确界仍然是ω,但ω不再是绝对无限,而是最大的V的层级内能保证的序数。虽说ω+2仍然可能存在(序数的后继这么弱的性质应该还可证,但幂集公理的失效导致ω+2不能往上安排到V_(ω+2)层级了),但序数最大能去到哪里就不太清楚,毕竟任何公理体系的模型不止一个。姑且把层级内最大能保证的序数ω也当题主说的绝对无穷讨论吧。钱的多少应该说的是基数,经历完ω前的所有时间(所有自然数的秒数),甲和乙都有了ℵ₀块钱,所以一样多。因为10ℵ₀=ℵ₀,所以说乙的钱是甲的十倍也没问题。这个情况下A和B对。

3.如果在2的基础上再承认V_(ω+1)满足幂集公理,即存在V_(ω+2),这时候V的层级内就至少包含了ω+1。我们姑且把ω+1看成你说的"绝对无穷",甲乙两人就必须经历ω+1之前的所有秒数,也就是说ω本身作为一个实体的秒数也必须经历,而不仅仅是经历所有自然数,即完成一个潜在的ω。因为根本不存在一个x,使得x+1=ω,所以第ω秒时甲和乙不再能保留以前的财富了(不然的话,ω秒时两人的钱只可能来自于上一秒翻倍的结果,然而上一秒根本不存在)。之前的钱像希尔伯特酒店击鼓传花一样,花消失在自然数的序列中,传不到第ω号房间,甲乙两人面对的又是一个全新的世界。有可能两人都重新有了200元,也有可能甲有9922元,乙有99220元,有可能两人突然来到一个茹毛饮血的时代,钱还没发明。这种情况下,ABC都有可能。

4.对于比3更复杂的情况,乃至于承认整个ZFC的情况,ABC都有可能。对足够复杂的公理体系(比如整个ZFC),选项C包含的具体可能性甚至可以有任意大小的基数那么多个,毕竟ZFC都有基数任意大的模型。

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