元数学：计算机、悖论与数学基础 (8-8)

这一结论非常具有戏剧性。只需三步，我们就能从哥德尔（"推理存在着极限"似乎令人震惊）到图灵（"推理存在着极限"似乎更为合理），再到对程序大小复杂度的思考，在这里，不完备性、数学之极限就会迎面而来。

人们经常对我说："嗯，这一切都很好。算法信息论是个不错的理论，但请举例说明一个你认为摆脱了数学推理能力的具体结果。" 多年来，我最喜欢的答案之一就是， "也许是费马最后定理" 但有趣的事情发生了： 1993年安德鲁-怀尔斯（Andrew Wiles）提出了一个证明，虽然出现了失误，但现在所有人都相信这个证明是正确的。问题就在这里。算法信息论表明，有很多东西无法被证明，但算法信息论无法为个别数学问题得出结论。

为什么尽管存在不完备性，数学家们却取得了如此大的进步？这些不完备性结果无疑给人一种悲观的感觉。如果从表面上看，似乎并没有进步的可能，数学是不可能的。幸运的是，对于我们这些数学工作者来说，情况似乎并非如此。也许下一代年轻的元数学会证明为什么会这样。

参考

1. 本文仅作翻译，不代表译者立场.

2. 插入"图灵曾证明，从数学意义上讲，不存在简单机器无法解决的可计算问题，而软件那连绵不绝的胜利则是对这一证明的怪异逆转。在这台机器的精确位置上，物理学的丘奇-图灵猜想通过将物理硬件与计算算法等同起来，创造了一个软件可以成功占据的空白——软件也因此而受益匪浅。"

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