元数学：计算机、悖论与数学基础 (8-1)

目录

罗素的逻辑悖论 ▹

希尔伯特的拯救计划 ▹

哥德尔不完备性 ▹

图灵机 ▹

数学中的随机性 ▹

何去何从？ ▹

原文选自 META MATH！The Quest For Omega ，Appendix I：COMPUTERS, PARADOXES AND THE FOUNDATIONS OF MATHEMATICS

作者：GREGORY CHAITIN（2006）[1]

众所周知，计算机是一种非常实用的东西。事实上，计算机已成为现代社会所不可或缺的工具。但是，连计算机专家都不记得的是——我只是略微夸大了一点——计算机之发明，是为了帮助对一个关于数学基础的哲学问题，加以澄清。令人惊讶吗？的确如此。

这个神奇的故事，要从大卫-希尔伯特（David Hilbert）说起。他是德国著名数学家，在 20 世纪初提出，要将所有数学推理加以完全形式化。结果证明，你无法将数学推理加以形式化，所以从某种意义上说，其想法是一个巨大的失败。然而，从另一个角度看，希尔伯特的想法是成功的，因为形式主义是 20 世纪最大的福音之一——并非数学推理或演绎，而是编程、计算和运算。这是一段被遗忘的思想史。

我将在此对这段历史加以讲述，但并不涉及数学细节。因此，我不可能完全地对相关贡献者之工作加以解释，这些贡献者包括伯特兰-罗素（Bertrand Russell）、库尔特-哥德尔（Kurt Gödel）和阿兰-图灵（Alan Turing）。不过，有耐心的读者，还是应该能够汲取他们论点之精髓，并了解我自己关于数学内在随机性（the randomness inherent in mathematics）的，一些想法之灵感来源。

罗素的逻辑悖论

让我从伯特兰-罗素说起，他是一位数学家，后来成为哲学家，最后成为人文主义者。罗素之所以重要，是因为他发现了逻辑本身所存在的一些，令人不安的悖论。也就是说，他发现了，"一些看似合理的推理却导致了矛盾"的情况。这些矛盾构成了严重的危机，必须以某种方式加以解决。

罗素所发现的悖论，引起了数学界之极大关注，但奇怪的是，其中只有一个悖论最终以其名字命名。要理解罗素悖论，可以考虑所有并不属于自身的集合。然后问："这个集合是其自身的一个成员吗？" 如果它是自身的成员，那么它就不应该是，反之亦然。

罗素悖论中的（一切）集合之集合，就像一个偏远小镇上的理发师，他给所有不刮胡子的人刮胡子。这种描述似乎很合理，直到你问 "理发师会给自己刮胡子吗？" 如果——而且只有如果——当他自己不刮胡子的时候，他才会给自己刮胡子。现在你可能会说："谁在乎这个假设的理发师？这只是无聊的文字游戏！" 但是，当你面对的是数学概念 "集合"时，就没那么容易忽视一个逻辑问题了。

罗素悖论是一个早期悖论于集合论上的回声，该悖论为古希腊人所熟知。它通常被称为埃皮-梅尼德斯（Epi-menides）悖论或骗子悖论。问题之实质是这样的： 据说埃皮-梅尼德斯感叹道："这句话是假的！" 那么上述句话是假的吗？如果其所言的是假的，那就意味着它一定是真的。但如果是真的，那就是假的。所以，不管你怎么假设其真实性，你都有麻烦了。这个悖论的两句话版本是这样的： "下面的陈述是真的。前一句话是假的"。单看这两句话，则都没问题，但结合起来就说不通了。你可能会认为这种悖论实乃毫无意义的文字游戏，但 20 世纪的一些伟大思想家却非常认真地对待它们。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。