元数学：计算机、悖论与数学基础 (8-2)

S＝{x：x∉x}

S∈S ⇔ S∉S

希尔伯特（Hilbert）对逻辑学危机的反应之一，就是试图遁入形式主义。如果一个人在推理时遇到麻烦，而推理似乎没有问题，那么解决之办法就是使用符号逻辑以对一种人工语言加以创建，并尤其小心地指定规则，这样就不会出现矛盾。毕竟，日常语言是模棱两可的——你永远不知道一个代词指的是什么。

希尔伯特的拯救计划

希尔伯特的想法，是创造一种完美的人工语言，用于推理、数学运算和演绎。因此，他强调公理法（axiomatic method）之重要性，即，从一套基本公设（公理）和（明确的）演绎规则出发，推导出有效的定理，其有效性。这样地做数学，其概念可以追溯到古希腊，特别是欧几里得和他的几何学，这是一个非常清晰的数学体系。

换言之，希尔伯特的意图，是完全精确地制定游戏规则——关于定义、基本概念、语法和语言——以便每个人都能就如何进行数学运算而达成一致。在实践中，使用这样一个形式化的公理系统来发展新的数学，是一件颇为麻烦的事情，但它在哲学上却意义重大。

希尔伯特的提议似乎相当简单明了。毕竟，他只是遵循了数学之形式化传统，借鉴了莱布尼兹、布尔、弗雷格和皮亚诺（Peano）的悠久历史。但是，他想一路走到最后，将所有数学加以形式化。最令人惊讶的是，事实证明他无法做到这一点。希尔伯特错了，但他错得非常有意义，因为他提出了一个非常好的问题。事实上，通过提出这个问题，他创造了一门全新的学科——元数学（meta-mathematics），这是一个内省的（introspective）数学领域，在这个领域中，你要研究数学能实现什么或不能实现什么。

威廉·埃瓦尔德·威尔弗雷德·西格

编辑人员

大卫

希尔伯特

讲座

大卫·希尔伯特的基础讲座

论算术和逻辑的基础

1917-1933

桑罗克特。

斯普林格

基本概念是这样的： 一旦你用——希尔伯特那样的——人工语言来解释数学，一旦你建立了一个完全形式化的公理系统，那么你就可以忘掉其任何意义，而只是把它看成是一个，用纸上的记号来运作的游戏，让你能够从公理中推导出定理。当然，人们之所以做数学，是因为它有意义。但是，如果你想用数学方法来研究数学，你就必须将数学之意义加以具体化，从而单单地研究一种具有完全精确规则的人工语言。

你可以问什么样的问题呢？比如说，一个问题是我们能否证明 0 =1（我们希望不能）。事实上，对于任何语句（称之为 A），你都可以问，是否有可能证明 A 或 A 的反面。如果你要么证明 A 为真，要么证明 A 为假，那么一个形式公理系统就被认为是完整的。

希尔伯特所设想的东西，能够创造出如此精确的规则，以至于任何证明都可以提交给一个公正的裁判，一个机械的程序，它会说："这个证明遵守了规则"，或者说："在第4行有一个拼写错误"，或者说："第4行的这个东西据称是从第3行来的，实际上并不是"。这样就结束了，没有上诉。

他的想法并不是说，数学应该这样做，而是说如果你能把数学这样做，你就可以用数学来研究数学之能力（power）。希尔伯特认为，他确实能够完成这一壮举。所以你可以想象，1931年，当一位名叫库尔特-哥德尔（Kurt Gödel）的奥地利数学家，证明希尔伯特之拯救计划根本不合理时，是多么令人震惊。即使在原则上，也不可能实现

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。