哥德尔对上帝存在的本体论证明 (4-3)

可以看出, 两者的区别就在于有没有要求x具有φ . 哥德尔的定义中并没有要求, 所以我们可以得出如下矛盾：令 φ 作Falsum常元 ⊥ (或任意逻辑矛盾的语句，或者是"self-different"这一性质)，则易见 □∀x ⊥ ess x. 由于"必然存在"是积极性质, 所以根据Th.1.可得 ◇∃x E(x) . 根据定义, "必然存在"即所有本质属性都必然地有实例. 综上所述, 我们可以推出：♢∃x (⊥ess x → □∃y⊥(y)) . 此时前文中已证 □∀x ⊥ ess x，所以可得 ♢∃x (□∃y⊥(y)) . 由于两个存在量词都没有bind任何变元, 所以可以消去, 最后证得 ◇□⊥ . 在证明所采用的逻辑S5中, ◇□⊥ → ⊥ .

Dana Scott所增加的约束条件φ(x) 则可以防止这种情况发生. 顺便说一句, 很多做自动化定理证明的人都喜欢拿哥德尔/Scott的证明来测试自己写的码, 例如上述矛盾就曾经被Isabelle(一个自动化证明的program)证出过: /Proceedings/1...

有关自动化定理证明对哥德尔本体论证明的热爱, 见 Holy Logic: Computer Scientists 'Prove' God Exists - SPIEGEL ONLINE - International

"类上帝的"的定义：

oldgoat：G(x) ⇔ ∀φ P(φ) → φ ess x

Dana Scott：G(x) ⇔ ∀φ P(φ) → φ(x)

"本质属性"的定义：

oldgoat：φ ess x ⇔ ∀ψ(□ψ(x) ↔ (φ(x) → ψ(x))).

Dana Scott：φ ess x ⇔ φ(x) ∧ ∀ψ(ψ(x) → □∀y(φ(y) → ψ(y))).

实际上,@oldgoat 老师所采用的公理和定义是C. A. Anderson为了修复J. H. Sobel的一个批评而修改的: appearedtoblogly.files....

Sobel通过哥德尔/Scott的公理, 证出了一个modal collapse theorem：p → □p . 如果我们将必然算子以S5常见的解读读作"形而上必然"的话, 那么这个modal collapse theorem说的就是"任意事实都是必然的事实", 例如2018年世界杯法国队夺冠, 则modal collapse告诉了我们在所有可能世界的2018年世界杯法国队都夺了冠. 这对许多人来说是反直觉的. modal collapse theorem证明如下：

我们令p为任意在本世界为真的语句, 并且证明□p . 首先通过哥德尔的结论, 我们知道本世界存在一个类上帝的对象, 称其为j. 因为G(j), 所以j具有且仅具有积极性质. 我们注意 [(x＝x)∧p] 是j的性质, 并且"类上帝的"是j的本质属性, 所以根据定义, □∀y(G(y) → (j＝j∧p))) 成立. 由于已证在每个可能世界"类上帝的"都存在实例, 所以在每个可能世界, j＝j∧p 都成立, 即 □(j＝j∧p), 通过模态命题逻辑的推理, 可得 □p.

不难发现, Anderson的改动是加强了"类上帝的"和"本质属性"的约束, 直接防止了下面这步推理的成立：

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