数学思想【现代语言】——集合论 (6-1)

目录

朴素集合论 ▹

康托尔的集合定义(Cantor，1874)：▹

朴素集合论与第三次数学危机 ▹

公理化集合论 ▹

集合论的基础地位 ▹

集合论作为语言工具 ▹

• 集合论的思想发展

• 集合论的基础地位

• 集合论作为语言工具

集合论是关于集合的数学理论,现已发展成为数学基础的一个分支。

集合论被称为是“数学的基础结构”（布尔巴基学派），它在现代数学中扮演着中心和基础的角色。

今天，数学家眼中的“集合论”有不同的含义：

“数学的一个分支”——公理化集合论；

一种基本的应用工具和方法——朴素集合论；

集合论最初是用“朴素”或者“直觉”的方法来进行研究 的，这被称为“朴素集合论” （ “naive set theory ” or “intuitive set theory ” ）； 由于朴素集合论允许我们不加限制地对集合施加任意 的操作，这导致集合悖论被发现，如“罗素悖论” （Russell‘s paradox）； 为了解决这个问题，集合论不得不重新建构，其中最重要的解决方法是把集合论建立在公理化的基础上， 这被称为“公理化集合论”。 （Axiomatic set theory ）

朴素集合论

集合论发轫于分析的严密化运动。十九世纪后期，因追寻实数 的坚实基础及突变函数性质研究的需要，孤立地研究实数轴上某个点或某个数的方式被代之以将各点联系在一起作为整体研究。这就形成了能把握实数的精确结构及性质的“点集论”。德国数学家康托尔（Georg Cantor）是集合论的创立者。1872 年，他在《数学年鉴》上发表的论文引进极限点、导集等概念， 从而奠定了“点集论” 的基础。1874年，他在《数学杂志》上又 发表了关于无穷集合理论的论文；此后发表的一系列论著进一步阐明了他的集合论思想。

康托尔在集合论上的主要贡献有：明确给出了集合的定义，以及集合的并、交等运算；提出无穷集的势等概念，通过一一对应关系建立了集合大小的比较原则，给出了无穷集的分类法；建立了基数和序数的理论；证明了超越数的存在；他所提出的连续统假设，至今未能获得圆满解决。

集合论的建立开辟了数学研究的一个全新领域，是数学发展的一个里程碑，它不仅回答了“什么是数” 、“什么是无限”这两个哲学家和数学家都迫切需要解决的问题，而且为数学奠定了坚实的基础，对整个现代数学结构产生了重大和深远的影响。

康托尔的集合论为数学分析建立了基础，据此，严格的实数理论建立起 来了：

• 集合论第一次把哲学中的无穷概念变成为精确数学研究的对象，把数学从潜无穷的观点转到实无穷的观点上来，树立了一种全新的数学传统。

• 集合论的创立标志着一个数学新时代的开始。在集合论刚建立的时候，集合论的重要性仅仅为少数几个数学家所赏识。然而在其进一步发展中，集合论渗透到了几乎所有的数学分支，对这些数学分支的发展有着深远的影响，还改变那些已经确立的理论的面貌。

• 集合论的思想导致了对数学基础更为深刻的分析，对数学概念之间的相互关系以及各种理论结构的探讨，对数学证明和数学理论证明方式的审查。

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