希尔伯特纲领 (5-1)

希尔伯特纲领是二十世纪数学基础和数学哲学中一项影响深远的研究计划，简单来说，它试图使用有穷主义方法来证明无穷的理想数学的一致性。希尔伯特希望以此来一劳永逸的解决所有的数学基础问题。哥德尔不完全性定理的出现使得希尔伯特纲领无法按照原初的设想实现。但是随着之后证明论的发展，人们发现通过对希尔伯特原初方案进行某些方面的修改，仍然能够在一定程度上实现希尔伯特纲领的目标。这些修正版本的希尔伯特纲领在证明论中仍然在继续发展。我们首先介绍了希尔伯特纲领的背景、内容和目标，包括希尔伯特的形式主义数学哲学、有穷主义观点，一致性证明的意义等等。我们将仔细的分析哥德尔第一和第二不完全性定理对希尔伯特纲领的影响，我们将说明为什么哥德尔不完全性定理使得希尔伯特纲领无法实现。

1 希尔伯特纲领

希尔伯特纲领是二十世纪数学哲学和数学基础中一项影响深远的研究计划。它分为两步：首先将古典数学形式化为一个公理系统；然后，只使用有穷主义方法来证明这个系统的一致性。希尔伯特希望通过这种方法可以一劳永逸的解决所有的数学基础问题。

1.1 希尔伯特的形式主义

希尔伯特将数学分为两部分，一部分可以称为“无穷数学”，处理集合、函数、无穷序数和无穷基数等抽象数学对象。无穷数学面临着重大的认识论困境。我们在物理世界中发现任何无穷实体，特别是根据广义相对论，我们的时空有可能就是有限而无界的，并且量子力学也否定了物质无限可分的假说。因此，我们不应该期望在物理世界中寻找无穷数学的模型。

另一方面，20世纪初在集合论中发现的悖论（罗素悖论、康托尔悖论）引起了人们对无穷概念的可靠性的担忧。这些悖论似乎暗示了我们的直觉无法直接把握无穷对象。

希尔伯特将“无穷数学”看作是无内容的理论。通过将无穷数学在一个形式系统中严格的公理化，我们不再需要按照字面意思去理解涉及无穷的数学词项和数学命题，只需要将它们看作是形式系统的对一些句子的推演。虽然我们的数学语言和数学公理明确的指称无穷数学对象并且断言它们存在，并且需要对无穷对象进行各种操作和构造，比如无穷公理断言存在一个无穷集合，应用幂集公理，我们可以创造出越来越大的无穷集合，但我们并没有实际上引入和创造那些对象，而仅仅是在形式系统中通过公理引入了新的推理方式。这种对无穷数学的解释被称为形式主义。

另一部分被称为有穷主义数学，包括自然数、自然数的有限序列等等都是有穷数学的对象。显然无穷数学包含了有穷数学。但与无穷数学中明确的讨论抽象对象不同，有穷主义数学是关于有穷和准具体（guasi-concrete）对象的理论。希尔伯特认为有穷主义数学是有内容的。希尔伯特将有穷主义数学的认识论基础诉诸于康德意义上的直观。有穷主义数学的公理应该是绝对无争议的。

我们知道对形式系统的语法操作已经预设了一些基本的数学知识，比如对有限字符串的操作、递归定义和归纳法等等，因此我们不能再将有穷数学也看作是无意义的。这部分数学包含了基本的算术和初等组合。

1.2 有穷主义

希尔伯特没有明确的界定有穷主义数学的范围。在希尔伯特的有穷主义观点下，每个自然数存在，但不存在一个已经完成的自然数总体，即自然数是一种潜无穷（potential infinitv)。因此有穷主义不接受对自然数总体使用无界量词和排中律。希尔伯特的有穷主义也不接受一般性的“构造性证明”的概念，这是一种比布劳威尔的直觉主义限制性更强的本体论立场。

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