skolem定理 (3-1)

司寇伦本人确实是以此悖论来反对集合论的：集合论的概念，终究只是相对的。而当代的司寇伦主义者面对常见的回答也可以疾呼说：当我们带着怜悯的眼神看着那些被困在可数宇宙里的住民时，也许我们也正是那被逐出康托°的乐园中的一员呢？

如果一个人反驳道：我们要么理解得了你的话而证明自己不是模型内部的居民，要么不能理解你的话而使得你的论证不能奏效--司寇伦主义者会回答说：我们是如此之贫乏，以至于甚至无法言说自己的贫乏。我们知道有些东西是真的，却表达不出它们。

这是因为在公理集合论“中，∈只不过是一个符号，它代表的是任何一个符合了集合论公理的二元关系，而并不一定是真正的属干（如果有的话）。因此，我们可以有M ⊨ m1 ∈ m2而m1和m2都不是集合（通过简单的模型论°论证，它们可以兔子、猫，等等）；而m1也可能并不真的是m2的一个成员。同样的，我们也可以找到一种情况，使得M ⊨ m1 ∉ m2，然而m1确实属于 m2.

我们甚至可以找到一个可数模型，使得真实的实数集ℜ是它的一个成员，然而这个模型还是可数的的，这是因为ℜ ≠ {m丨M ⊨ m ∈ ℜ }.

然而、上述分析仍然有一些不严谨的地方。模型(M，E)中的二元关系 E 未必是集合论宇宙上的属于关系，因此，集合{x ∈ M│(M，E) ⊨ x ∈ ℵᴹ₂}＝{x ∈ M│xEℵᴹ₂} 未必等于ℵᴹ₂，甚至也未必等于M∩ℵᴹ₂＝{x ∈ M│x ∈ ℵᴹ₂}。 ℵᴹ₂ 作为集合论宇宙中的一个对象本身可能是个不可数的集合，甚至任意一个集合；而集合{x ∈ M│(M，E) ⊨ x ∈ ℵᴹ₂}却有可能并不属于 M。

另一方面，(M，E)当然认为其中存在一个自然数集、记作ωᴹ。类似地，ωᴹ 作为集合论宇宙中的对象可能是任意一个集合，而被 M 当作自然数的对象组成的集合 {x ∈ M│(M，E) ⊨ x ∈ ωᴹ} 可能不属于M。更重要的是，集合 {x ∈ M│(M，E) ⊨ x ∈ ωᴹ} 及其上的 E 的关系可能并不与集合论宇宙中真正的自然数上的序关系(ω，∈)同构。(M，E)中的自然数序可能是一个非标准模型。

上述种种使得生活在真正集合论宇宙(V，∈)中的人与生活在(M，E)

这里需要选择公理。 125

杨睿之，作为哲学的数理逻辑

第二个原因是，“∃x”和“∀x”这两个量词的模型论解释只对某个模型M的论域进行量化，而我们想要的是它量化在整个集合论牢宙上。

接下来我们来考虑一下传递模型。我们说一个集合是传递的，当且仅当它的每个成员的成员还是它的成员，即y∈x∈X ⇒ y∈X。我们说一个集合论语言的模型是传递模型当它的论域是个传递集°，并且其上的“属于”关系就是真正的属于关系。

定义 3.14(绝对性)  我们称一个集合论公式 φ(ˉx) 对一个集合论模型(M，∈)是绝对的 (absolute)，当且仅当

∀ˉx(φᴹ (ˉx) ↔ φ(ˉx)]，

其中，φᴹ(ˉx)是 φ(ˉx) 在 M 下的相对化(参见第105页)。注意，相对化和绝对性的定义对集合模型和类模型都有效。可以证明、对 ZF 的传递模型来说，下述常见集合论术语(的定义公式)是绝对的：

(1) x 是传递的；

(2) x 是序数；

(3) x＝ω；

(4) x＝Lα；

(5) x ∈ L 。

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