skolem定理 (3-2)

这些绝对性也大大方便了对传递的玩具模型性质的讨论。

①本书中，在上下文不会造成误解的情况下往往将结构 (M，∈) 简写为 M，把(M，∈) ⊨ φ 简写为 M ⊨ φ. 126

Most importantly，if M is transitive and m ∈ M，then m＝{m' ∈ M丨M ⊨ m'∈m}.

我们来考虑一个可数传递模型上的司寇伦悖论，这会使得第一种解决方案失效，我们只能纳入量词的考虑。

这可以跟一些对于我们到底能不能量化全体/全集的讨论有关。

一些哲学家争辩说“传递性”是使得skolem悖论有意义的一个必要条件。而另外一些哲学家反说道，在讨论可数模型时引入传递这一个条件会使得不可数集真的不可能出现在其中，因此看不出来到底在哪方面胜过其它类的模型。

集合论悖论表明，我们不应该天真地相信康托尔定理°的表面价值——因此，康托尔的证明本身并不迫使我们接受不可数的集合。司寇伦悖论表明，采用对集合理论公理的代数理解也不会迫使我们接受不可数的集合，因为我们总是可以把这些公理解释为适用于一个只可数的模型。

司寇伦悖论是依赖于一阶逻辑的。当我们使用的是二阶逻辑时，它就会荡然无存。

[2]

我们可以用一些策略来回避斯科勒姆悖论的这种应用。我们可以使用不可数的公理来迫使我们的模型具有不可数的论域，我以求助于向上的洛文海姆-司寇伦定理来证明集合论公理也具有不可数的模型，或者我们可以转向二阶集合论，然后证明这些公理只能被具有不可数论域的模型所满足.不幸的是，这些策略中的每一个都以我们已经事先掌握了不可数集的概念为前提—-例如，为了初步确定不可数集公理的特征，为了表述向上的洛文海姆-司寇伦定理，或者为了证明二阶ZFC只有不可数的模型。所以，这些策略都不能将不可数集“in the firstplace”地引入数学。

一种解读是将之看作对“代数式”(因为代数里，不像对自然数、实数一样，没人会想象一个唯一的、真实的群，或环）观点的反对，即，集合论宇宙就仅仅是集合论公理的模型而已。

它的重构是这样的：因为悖论，我们不再能够相信直觉的、非形式化的集合概念，而只能依赖于公理，而集合论的公理无法将“不可数”这个概念确定下来。“有限”的概念也是如此。这些概念都是相对于语言的。在一个模型下看起来不可数的东西总会在另一个模型下看起来是可数的。

Reference

Button, Tim, and Sean Walsh, 2018,

'Transcendental arguments against

model-theoretical scepticism'Philosophy and Model Theory (Oxford)

Bays, Timothy,"Skolem's Paradox",The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2014 Edition), Edward N.Zalta

(ed.), URL=＜Skolem's Paradox＞.

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