【物理与化学】证明公式 (3-1)

Cₚ，m – Cᵥ，m＝R

Cₚ，ₘ – Cᵥ，ₘ＝R

先不说适用条件，对于一种物质的摩尔恒压热容与摩尔恒容热容的差居然是一个定值R

(R＝8.314J · mol⁻¹ · K⁻¹)

首先看看Cₚ，ₘ 。这是摩尔恒压热容，恒压热容是反应在恒压状况下，系统与环境交换热量的能力大小的物理量。而 Cᵥ，ₘ 是摩尔恒容热容，与恒压热容相似，恒容热容应在恒容状况下，系统与环境交换热量的能力大小的物理量。

这里我们用数学语言来描述一下恒压热容和恒容热容：

∂H ∂U

Cₚ＝(─)ₚ，Cᵥ＝(─)ᵥ

∂T ∂T

然后让它们相减就有：

∂H ∂U

Cₚ – Cᵥ＝(─)ₚ，Cᵥ＝(─)ᵥ

∂T ∂T

H是焓，没有实际的物理意义，将H＝U＋pV 带入偏导中

∂(U＋pV) ∂U

Cₚ – Cᵥ＝(───)ₚ – (─)ᵥ

∂T ∂T

由于恒压热容是焓对温度的偏导，此时的压强不变，那么p可以提出来

∂U ∂V ∂U

Cₚ – Cᵥ＝(─)ₚ＋p(─)ₚ – (─)ᵥ

∂T ∂T ∂T

∂U ∂U

这里的的p(─)ₚ 和 (─)ᵥ

∂T ∂T

不能消去！！！虽然两者描述的都是内能U对温度的偏导，但是前者是在压力为定值的条件下，后者是在体积为定值的条件下。

既然涉及到了内能的偏导，那么何不来用用热力学第一定律？

∂U ∂U

dU＝(─)ᵥdT＋(─)ᴛdV

∂T ∂V

我们对能量守恒该式子进行加工一下，左边和右边同时保证p 不变的条件下，除以一个 dT ，就改改形式了。

∂U ∂U ∂U ∂V

(─)ₚ＝(─)ᵥ＋(─)ᴛ(─)ₚ

∂T ∂T ∂V ∂T

这样我们就得到了V在p一定的情况下对T的偏导，视乎这个能量守恒的式子经过我这么一变化之后就可以和之前没有头绪的式子扯上关系了。我们把这个式子带入到上面没有头绪的式子里面，

∂U ∂V ∂U

Cₚ – Cᵥ＝(─)ₚ＋p(─)ₚ – (─)ᵥ，

∂T ∂T ∂T

∂U

消去(─)ₚ，然后再合并同类项就有：

∂T

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