康托尔-伯恩斯坦定理 (2-2)

接下来只须证明X＝A∪∼A 即可。用反证法，如果 A∪∼A ≠ X ，则存在 x₀ ∈ X\(A∪∼A)，令 A₀＝A∪{x₀} ，则不难证明 A₀ ∈ Γ ，但这与A是 Γ 中的最大元素矛盾，故反设不成立，引理得证。

Cantor-Bernstein定理：若X 与 Y 的某个子集对等， Y 也与 X 的某个子集对等，则 X ~ Y 。

证明：由题设，存在单射f：X → Y 及 g：Y → X ，根据Banach引理，存在分解

X＝A∪∼A Y＝B∪∼B A∩∼A＝B∩∼B＝∅

使得f(A)＝B ， g(∼B)＝∼A ，注意到 g：∼B → ∼A 是单满映射，因此存在逆映射 g⁻¹：∼A → ∼B 。现在定义映射 h：X → Y 如下

f(x)， x ∈ A，

h(x)＝{

g⁻¹(x)， x ∈ ∼A，

则h是单满映射，因此X ~ Y 。

证毕。

这个定理最初由Cantor于1887年提出，Dedekind于同年证明了这个定理，但未公开；Schroder于1896年发表了该定理的首个不依赖于选择公理的证明，但后来被人发现有漏洞；Bernstein于1897年给出该定理第一个不依赖于选择公理的正确证明。这里给出的证明方法是由Banach提出的。

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