蕴含式的传递性

已知：A ⇒ B：＝(¬A)∨B，求证命题P：(A ⇒ B∧B ⇒ C) ⇒ (A ⇒ C)恒为真。

证明：

P ⇔ [(– A∨B)∧(–B∨C) ⇒ (¬A∨C)] ⇔ ¬(¬A∨B)∧(–B∨C)]∨(¬A∨C) ⇔ (A∧¬B)∨(B∧¬C)∨–A∨C

现在讨论真值：

1. 显然A为假或C为真时，P为真。

2. 当A为真且C为假时，有：P＝(A∧¬B)∨(B∧¬C) ⇔ (True ∧ ¬B )∨(True∧B) ⇔ ¬B ∖，由排中律，P为真。

蕴含式：A⇒ B

定义：A B：＝( ¬ A) ∨ B

由定义可知——“A为真，则可知B为真”的等价表述是“ (¬ A) 为真，或B为真”。

拆解一下这个等价表述：

“(¬ A) 为真，或B为真” ⇒ 有以下两种情况：

（1）¬ A为假（A为真），且B为真；

（2）¬ A为真（A为假），B可以为真也可以为假。

这也等价表述了一种情况：若¬ A为假（A为真），则B不可能为假，也就是说 A 为真并不蕴含着B为假。

蕴含式的传递性：

（A⇒ C） ∧ （C ⇒ B） ⇒ （A ⇒ B）

传递性的等价表述：¬ (（A ⇒ C）∧（C ⇒ B）)为真，或 A ⇒ B 为真。

蕴含式的传递性证明：

通过反证法，假设蕴含式的传递性不成立，即¬ (（A ⇒ C）∧（C ⇒ B）)为假，且 A ⇒ B 为假，分别考证两个表达式：

1. ¬ (（A ⇒ C）∧（C ⇒ B）)为假

可知（A⇒ C）∧（C ⇒ B）为真，则（A ⇒ C）为真 且（C ⇒ B）为真。

（1）（A⇒ C）为真

即：(¬ A) ∨ C 为真，已知 A 为真，则 C 为真。

（2）（C⇒ B）为真

即：(¬ C) ∨ B 为真，由（1）知 C 为真( ¬ C 为假)，则 B 必为真。

2. A⇒ B 为假

即(¬ A) ∨ B 为假，已知 A 为真( ¬ A 为假)，则 B 必为假。

上述 1 和 2 得出了两个关于 B 的矛盾结论，因此反证法假设不成立⇒ 蕴含式的传递性成立，得证。

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