数学Borel集 (3-2)

(4.1.18) If (M，＜) has no last element，then it has a subset of type ω.

↛There is a non-measurable subset of ℝ.

↛There is a subset of ℝ without the Baire property

↛Cℵ₀

↛2.5.6) There is an

所以在例如说Solovay模型中，DC成立，那么按照参考书的说法题主的命题也成立，然而在该模型里所有实数集都可测，所以“实数集中的Borel集全体的势为连续统势”并不蕴涵“实数集存在一个不可测子集”。

然而参考书这次说错了。DC蕴涵的仅仅是“存在一个ℝ 到全体Borel集的满射”，它并不蕴涵两者之间存在双射。这是因为如果存在一个ℝ 跟全体Borel集之间的双射，那么特别地 [ℝ]ℕ：＝{X ⊆ ℝ│X }可以被线序化。而这样一个线序的存在蕴涵不可测集的存在，具体证明在下面这篇回答里有写

大致思路就是（这是Sierpinski上世纪初的结果），如果([ℝ]ℕ，⪯) 是线序，那么 ⪯ 也线序化Vitali等价类的集合，那么此时 A：＝{x∈ℝ│[x]~⪯ [–x]~} 就是一个在有理数距离移动下不变的集合，所以它满足0-1律，特别地它在 [–1，1] 上的测度要么是0要么是2，然而 i：x ↦ –x 是 A 和 Aᶜ（除掉有理数后的） 保测双射，所以两者不能等测度，矛盾。

也就是说，“实数集中的Borel集全体的势为连续统势”蕴涵“Vitali等价类能被线序”，而后者蕴涵“实数集存在一个不可测子集”

最后说一下平时“实数集中的Borel集全体的势为连续统势”的证明哪里用了选择公理。在采纳ZFC为集合论公理的实分析/测度论教材中，我们计算有多少个Borel集时，通常采取的方案是把Borel集的全体看作是从开集出发，在ω₁ 步下完成的一个构造结果，然后再将这个构造中的每一层大小都计算为 2ℵ₀ ，使得整个构造结果的势是 ω₁ × 2ℵ₀＝2ℵ₀。（虽然这个等式本身就依赖于选择公理，但是下文我们会看到更加关键地依赖选择公理的地方）

之所以每一层的大小都能被计算为2ℵ₀ ，是因为每一个Borel集都存在一个“我是从哪些基本开集出发，在什么时候取交、并、补”的这样一个递归描述（在集合论里称之为Borel编码，Borel code），而每一个这样的描述都对应着一个实数（在集合论里是把这样的描述看作一个良基树，即一个可数对象；不过出于理解方便可以把这样的描述看作对应的ASCII码然后把这串码接在"0. "的后面），所以每个Borel集都对应着一个实数。

上一段黑体字就是需要用到选择公理才能推进的一步：每个Borel集都对应着不止一个这样的描述，所以每个Borel集实际上有无穷个Borel编码，而我们需要用选择公理才能对每个Borel集固定选择一个Borel编码，以此得出每个Borel集都对应着一个实数。这种“从满射推出单射”形式的选择原则往往都是挺强的选择公理形式。

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