数学Borel集 (3-3)

更退一步，甚至需要可数选择公理才能证明“有Borel编码的集合=Borel σ-代数里面的集合”。这是因为如果比如说你有可数个Borel集，然后它们要并在一起得到一个新的Borel集，我们递归地通过那可数个Borel集的编码来构造出一个新的编码，然而同样的问题仍然存在，那就是这可数个Borel集各自有无穷个Borel编码，所以你也必须得做出可数无穷次选择才能给它们各自选一个固定的编码，才能继续下去构造它们的并的编码。

例如在可数选择公理失效的Levy-Feferman模型中，实数集是可数个可数集合的并集，那么Borel σ-代数里就包含了所有的实数子集。此时我们仍然能讨论“存在Borel编码的集合”[1]，这个仍然是一个大小为 2ℵ₀ 的集合，只不过此时它就不跟Borel σ-代数重合了。

参考

1. 在那本3000多页的“测度论圣经”，Fremlin的Measure Theory第五卷中，毫无任何选择公理的测度论就是在这个框架下发展的。即我们不再讨论Borel集，而是考虑Borel编码，把“某某Borel集如何如何”这类命题全都翻译成“某某Borel编码如何如何”这样的命题

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