数学Borel集 (3-1)

“实数集中的Borel集全体的势为连续统势”这一论断是否蕴含“实数集存在一个不可测子集”？

神奇，这个问题让我发现了选择公理研究中两本经典参考读物的错误。首先回答题主的问题：“实数集中的Borel集全体的势为连续统势”这一论断的确蕴涵“实数集存在一个不可测子集”，证明放在最后。

但我想先指出的一点是，按照现代选择公理蕴涵关系的标准参考读物的说法，这个蕴涵关系是不成立的。下面说原因。

在Paul Howard的Consequences of the Axiom of Choice中，给出的蕴涵关系是Form 43（也就是Axiom of Dependent Choice, DC）蕴涵Form 363（“Borel集的集合与实数集自身等势”）

386 PART V: REFERENCES FOR RELATIONS BETWEEN FORMS

361 358 (3) note 18 (N2T)

363 358 (3) note 18 (N2T)

8 360 (1) clear

8 361 (1) G.Moore [1982] p 325

0 362 (7) This project

361 362 (1) G. Moore [1982] p 325

43 363 (1) G. Moore [1982] p 325

它引用的文献是Moore的Zermelo's Axiom of Choice，其中第325页不加引用地断言了这个蕴涵关系

Table 4. Deductive Relations Concerning the Denumerable Axiom of Choice and the Principle of Dependent Choices

Axiom of Choice

⇟

For every x，Cℵˢ

↙

Cℵˢ⇟

↛Principle of Dependent Choices (1.1.2)

↓

In ℝ， there are exactly 2ℵ₀ Borel sets.

↓

(2.3.4) In ℝ. there is a measurable set

that is Borel set.

Cℵ¹ m ≤ ℵ₁ or ℵ₁ ≤ m

↓ ↓

↛↛Principle of Dependent Choices (1.1.2)

↓

Lōwenheim-Skolem Theorem

↛ℵ₁ ≤ 2 ℵ₀

→Kōnig’s Infinity Lemma (4.5.6)

→Urysohn’s Lemma (4.6.6)

Principle of Dependent Choices (1.1.2)

↓

(1.6.6) If (M，＜) has no

subset of type *ω， then

it is a well-ordering.

↕

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