哥德尔纲领 (4-3)

正是在这里，哥德尔宣称要为集合论（也即数学）寻找新的公理以判定诸如连续统假设这样的独立命题：“不仅今天人们所知的集合论公理系统是不完全的，而且能够以确定的方式补充新的公理，这些新公理不过是我们一直在用的公理的自然延续。”

这就是所谓的“哥德尔纲领”。

关于哥德尔纲领历史及有关研究现状的更详细的介绍可以参见郝兆宽的《哥德尔纲领》。

在下一节中，我们将分析武丁计划对哥德尔纲领的实践及其遇到的困难。

三、武丁计划

郝兆宽教授在《哥德尔纲领》一书中写道：

“本书的一个主要论题就是：集合论已经发展到了这样的阶段，我们有可能面临着哥德尔纲领的彻底实现。”

注意，由于版本（1）的哥德尔纲领不存在所谓的彻底实现，郝兆宽教授所主张的必须是某种版本（2）的哥德尔纲领。

而这里的彻底实现指的是武丁（W.HughWoodin）关于终极L的研究计划。

哥德尔在预言了连续统假设的独立性后就提议通过比不可达基数或玛洛(马洛)基数更强的大基数公理来判定连续统假设问题。

然而，科恩的方法适用于包含任何已知大基数的公理系统。

单凭大基数公理是无法判定连续统假设的。

以武丁和斯蒂尔为代表的加州学派的一项长期的研究计划是通过内模型理论为大基数公理的一致性提供佐证。

这些大基数的内模型（例如包含一个可测基数的模型L[U]）具有凝聚性（Condensation）等良好的性质，使其在力迫扩张中保持绝对。

因而力迫法无法证明某个命题独立于诸如“ZF+V=L[U]+LCA”的公理系统，其中“V=L[U]”表示集合论宇宙就是这个内模型，LCA表示相应的大基数公理。

问题是，对应更强大基数的内模型极难构造，往往对应某个大基数的内模型可证地不含有更强的大基数。

更强的大基数意味着更强的解释力，实在论者希望公理系统包含更强的大基数从而不会在解释力上有所损失。

而武丁证明了一旦我们找到超紧致基数的内模型，那么它将自动成为所有通过类似方式定义的大基数的内模型——终极-L。

由此，“ZF+V=终极-L+LCA”就成为一系列免疫于力迫法独立性证明的“经验完全的”公理系统了。

注意，我们无法定义什么是大基数公理，否则我们总可以找到比“所有大基数存在”更强的大基数性质。

武丁计划就是找到终极-L的刻画。

由此，我们只需要通过加强大基数公理这一相对明确的路径，就可以判定几乎所有数学命题，除非有本质上不同于力迫法和哥德尔不完全性定理的新的独立性证明方法出现。

武丁的计划的确令人激动。

它几乎完美地对应了版本（2.2）的哥德尔纲领的要求。

然而，即使作为哥德尔纲领实践者的武丁的亲密盟友如斯蒂尔、冯琦等学者对武丁的终极-L计划的可能结果往往持保留意见：它或将遭受挫折，或即使成功也不会是一个“终结”。

他们的理由很简单，正如波斯特所说的，数学是不会终结的。

显然，这些学者主张的是版本（1）的哥德尔纲领。

由于人们可能在关于哥德尔析取式采取不同立场的情况下支持版本（1）的纲领，我们很难确定他们是否持有与哥德尔同样乐观的立场。

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