哥德尔纲领 (4-2)

以上工作只能使用有穷主义方法（finitary method）。

此即所谓的希尔伯特纲领。

假设希尔伯特纲领实现，我们至少可以确信经典数学是安全的，更进一步，所有数学命题都可以在一个有穷的公理系统中被判定。

这看似是一个可以被接受的，一劳永逸的解决方案。

然而，哥德尔不完全性定理表明，希尔伯特计划在很强的意义上是无法实现的。

希尔伯特式形式主义的根本问题在于，它不是一个一以贯之的数学哲学立场。

由此，形式主义者将数学分成了两部分：有意义的真的因而不需要一致性证明的那部分（如有穷主义数学）以及更多的纯形式的需要一致性证明的那部分。

他们要求用较少的有意义的那部分数学证明更多数学的一致性。

因此，当人们发现一个给定系统的一致性证明总需要比那个系统更多的东西时，就会认为一切一致性证明就实现希尔伯特纲领而言是无意义的。

相比一致性问题，对于作为理性主义者的哥德尔来说，更迫切的是面对不完全性现象。

不完全性定理带来的冲击如此之大，以至于即使集合论公理化已经取得了明显的进展，人们不再像弗雷格或希尔伯特那样谋求一个完全的数学基础。

乐观的理性主义逐渐退出时代精神的主流。然而，哥德尔本人却是一个相比弗雷格或希尔伯特更乐观的理性主义者。

哥德尔在1938年证明了连续统假设相对于ZFC公理系统的一致性，也即从ZFC无法证明连续统假设是不成立的（假设ZFC本身是一致的）。

哥德尔猜想连续统假设可能是独立于ZFC的：

“康托尔的假设先天的有三种可能：或者它可以被证明，或者被否证，或者是独立的。第三种情形最有可能，……寻找其独立性的证明。”

哥德尔的猜想在1963年被科恩（PaulCohen）证明。

连续统假设的独立性相比不完全性定理对数学基础问题的影响可能更大。

连续统假设是一个自然且明确的数学问题，它是希尔伯特第1问题。

数学家可以宣称见证哥德尔不完全性定理的那些命题都是人造的，缺乏自然的数学意义。

然而，连续统假设独立性的发现意味着数学家必须直面不完全性问题。

除非他们退回构造主义数学划下的牢笼中，宣称关于实无穷的理论是虚构的。

抑或退回形式主义的避难所（如科恩本人以及许多意识到这个问题的数学家）。

而根据之前的分析，并不存在彻底的形式主义，所谓的形式主义总是某种意义上的构造主义。

哥德尔第一不完备定理：

任何一个相容的公理体系，必定是不完备的。其

中一定有真命题，但不能被证明。

哥德尔第二不完备定理：

任何相容的公里体系不能证明它本身的相容性。

For any compotable acomatic sremrhat is powerful enough to desctibe the arutheetc of the natural rumbersiea the Pearo aiooms or ZFC

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