【数学与哲学翻译】Peter Smith论数学 (7-3)

希望我们能在这点上观点一致：形式化（至少在某种程度上）是一件非常好的事情，因为足够接近形式化理想的证明，到头来是能帮助我们检查我们的聪明点子是否真的可行的，而且它们也将最终帮你说服你读者中受过适当训练的头脑。 （好吧，考虑到这是一种类似哲学的言论，你肯定可以找到一些哲学家持反对意见，因为这是那些脾气古怪的家伙的方式。但异议者通常只是在强调，产生可形式化的证明并不是数学的全部和终结——我们可以很乐意地同意这一点。例如说，我们经常渴望证明不仅形式上有效，而且在某种程度上具有解释性，解释性究竟是什么意思暂且按下不表。）

所以Imre如果说数学家在检查和写出他们的证明时通常是（半）形式化的，那他就是完全正确的。但事实上，他将形式主义描述为一种关于【游戏+无意义符号】的理念，然后说数学家在他们的证明中转向形式主义。然而两者是完全不同的说法。这也是我想表达的第一个主要观点。

任何人如果想要将这两者混为一谈，都应该花点时间回忆一下，最早明确提倡形式化优点的人之一是弗雷格，而他同时也是最早的反形式主义者。但我们不需要拿出历史上的重炮。这里要强调的关键是一个非常简单的观点。用一种规范化的、部分或完全符号化的语言来写东西（这样你就可以更好地检查什么是什么的推论），并不意味着你已经停止了对命题的表述，而开始操纵无意义的符号。手工制作的、专门设计的语言仍然是语言。从“两个数无论怎么加，和都是一样的”到例如“∀x∀y(x＋y＝y＋x)”的转变改变的仅仅是表达的媒介，并没有改变表达的信息。而且，你可以并且也应该在检查一个形式化证明是否遵循逻辑规则时，暂时忽略非逻辑谓词和函数的语义（因为逻辑规则是用语法术语形式化的），但这可并不意味着非逻辑谓词和函数不再有意义呀！

所以总的来说，数学家（在遵守“社会行为守则”时）至少会采取一些步骤来使他们的证明在形式上合规，但这并不意味着他们是（哪怕暂时性的）形式主义者。

这又是另一件好事，因为这种不加保留的朴素形式主义（“这只是无意义的符号”）是一种挺不靠谱的数学哲学。但又得另说了，所以我们就此打住...

“数学是否需要哲学？”这个问题并不是那么明确。再次，我不得不问一个哲学家很喜欢问的烦人问题：它到底是什么意思？

好吧，这里有一个更精确的问题，它可能是这个意思（尤其在TMS的讨论中，它在某种程度上被理解为这个意思）：数学家是否应该注意、或者关心、当前由职业数学哲学家通常做的数学哲学？Imre Leader和Thomas Forster都对此有所表态，而且两人观点一致。对于这个更精确的问题，他们的回答基本上是“不”。Thomas甚至说：

哲学系里做的所谓“数学哲学”，整体上基本算是浪费时间，至少从职业数学家的角度来看。

哇塞，这话说得真是拳拳到肉。不过这个说法有没有它的道理？

嗯，我想他会这么说，可能是因为一部分哲学家在谈论数学时根本不知道自己在说什么。但这种可能性相当小，因为有不少职业哲学家同时拥有数学学位（当我在剑桥哲学系时，我们三分之一的人拥有数学学位，其中一人还是数学博士，另一人则是学完了Part III）。所以这可能不仅仅是哲学家一知半解导致的。那么在哲学家中，到底发生了什么，让Imre和Thomas对数学哲学如此不屑一顾？

我尽力尝试解释一下他们共同的观点。伟大的哲学家威尔弗里德·塞拉斯有一句名言，很多现代的英美哲学家（对于那些在澳大利亚和斯堪的纳维亚的人，我表示歉意……）也会把它当作座右铭：

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