集合论系统顺序（数学分析） (2-2)

James R. Munkres,Topology (Prentice Hall, 2nd edition,2000). Chapter 1, 'Set Theory and Logic'. This tells you very clearly about basic set-theoretic concepts, up to countable vs uncountable sets and the axiom of choice (plus a few other things worth knowing about)

这本书的第一章“集合论和逻辑”非常清晰地向你讲述了基本的集合论概念（到可数集与不可数集、选择公理为止），还有一些非常值得了解的东西

同时这本书也是比较经典的拓扑学入门教程

然后就是数学分析、高等代数——大学物理（比较基本的那些）——常微分方程、解析几何（这个你可以参考一下我的其他回答）——拓扑学、概率论，实分析、复分析这个路子来进行学习了。如果你高中毕业了的话.

数学分析我推荐张筑生老师的《数学分析新讲》三卷，听说最近重排本的阅读体验很不错；陆亚明老师的《数学分析入门》体验也很好。线性代数就见仁见智了，每个作者的风格都不一样。

关于其他分支知乎上都有值得一看的入门教材推荐——但是要当心那些动不动就把数学教材当经文念的人，比如说叫你看Halmos的《测度论》学测度论，还说什么这是经典（要注意Halmos的测度论把测度空间定义在sigma环上而不是sigma代数上——后者是现代测度论的一般前提，这就至少能说明它并不适合用来作为自学的教材，你学到测度论的时候我比较推荐Cohn的《测度论》Measure Theory（目前市面上有售世界图书出版公司出版的影印版，70来块） ），还有就是《微积分学教程》菲赫金哥尔茨不要入手，太厚了，而且古典过头了——讲实数的构造理论和多维空间的部分简直爆炸，之后我会写文章讲一下这个问题

实数理论就按你喜好来，不过我推荐公理化方法学习实数理论——反正用戴德金分割构造的实数集和康托尔用柯西有理数序列构造的实数集以及公理化方法刻画的实数集都是同构的。我记得Yuhang Liu老师也说过类似问题——数学分析的核心在计算，各种计算，不只是狭隘的求积分

；实数的构造理论更适合练手证明和了解数学史以及给自己一个信心——我所学的内容基础是如此的坚实，但问题来了，很多人容易在这里直接折戟，连核心的门都摸不到，照这样看还不如不学实数的构造理论的好——所以我建议走公理化方法学习实数的一些基本知识

参考

1. 指的是古典分析的复现， 另外布尔巴基学派的宗旨是结构主义的， 不是元数学的， 他们在这项工作开始初期就断言”逻辑不过是数学的工具， 完全可以根据数学发展或自然科学发展更改逻辑“， 这一点是已经实现的， 具体可以参看classical logic 和 non-classical logic的条目

2. 现在已经进化到Tarski-Grothendick Axioms了， 即TG, 是ZFC的非保守扩张， 模型论的方法在代数几何中很有用处， 可以参见Faltings的工作

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