数学哲学译文丨形式主义的两个教条（一） (11-8)

「同义性报告」「阐明」「命名」这个区分可能不是定义本身的分类, 而是定义的解释或作用的分类. 而且, 一个定义在不同语境下可能有不同作用, 这三类并不互斥, 定义的解释也不一定被这三类涵盖[26]. 另外, 模糊的不是「阐明」和「命名」的区别, 而是「阐明」这个概念. 「命名」是什么相对明确, 给定的定义能否解释为「命名」可以被视为这个定义是否数学化的条件. 从这个角度看, 希尔伯特的形式主义可以说是试图明确哪些定义能解释为「命名」, 驱逐包含问题的定义, 只基于能解释为「命名」的定义重构数学世界的尝试.

然而, 所有定义都可以解释为「命名」, 与认为所有定义只是「命名」是不同的. 后者也是一种形式主义, 但与其说是形式主义, 不如称之为「数学式纯真 (mathematical innocence)」, 在不允许模糊性的意义上是一种数学上诚实的态度, 但认为描述数学对象的符号才是数学的实体, 这是狭义的形式主义或极端的唯名论, 能否导向数学的丰富性是非常值得怀疑的[27].

即使对于可以解释为「命名」的定义, 这个定义是否被期望具有「阐明」的作用, 如果被期望的话, 这种「阐明」的尝试是否成功, 这些问题不仅在哲学上需要注意, 在数学上也需要注意.

9.6 缘木求鱼

在谓词逻辑中, 「理论」被定义为称为非逻辑公理的逻辑式的集合, 「证明」被定义为从逻辑公理和「理论」中的非逻辑公理出发, 通过反复应用推理规则得到的有限逻辑式序列. 数学基础论本来就是为了阐明「什么是命题, 什么是证明」而诞生的, 因此谓词逻辑中出现的定义被期望具有「阐明」的作用. 而数学基础论中存在许多看似具有重要「阐明」作用的定义, 所以许多数学家会有「数学基础论不是数学, 而是哲学的空洞讨论」的印象.

但是, 理论本来是指像相对论和伽罗瓦理论那样, 拥有研究对象、方法论以及结果意义的价值判断标准的学术领域. 然而, 谓词逻辑中「理论」的典型例子是群或域的公理集合, 以及自然数全体或集合全体应满足的公理集合. 在这种情况下, 「理论」最多只能描述研究对象及其基本性质, 很难认为「理论」的定义成为了理论概念的「阐明」. 此外, 在谓词逻辑中, 「理论」和「公理系」这个词经常同义使用, 但日常语言中没有「公理系」这个词, 所以「公理系」的定义只能是「命名」. 因此, 「理论」的定义也应该只是「命名」[28].

无论数学基础论中出现的定义是否具有「阐明」的作用, 总之都可以解释为「命名」, 也存在认为只是「命名」的立场. 这也是数学基础论专家切身感受到「数学基础论是数学」的根据. 也有「不应从关于形式化数学得到的结果中引出关于数学本身的言论」这种观点[29]. 这种观点认为「证明」的定义只是「命名」, 或者应该对「证明」定义的「阐明」作用保持沉默. 但是, 不完备定理的素朴解释通常以「证明」的定义是「阐明」为前提, 如果「证明」的定义只是「命名」, 不完备定理的意义就会发生很大变化. 另外, 即使「证明」的定义是「阐明」, 通过这种「阐明」的尝试, 证明的概念本身也可能发生巨大变化[30].

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