数学哲学译文丨形式主义的两个教条（一） (11-7)

无论定理和证明是否相同, 将定理和证明的区别强行塞进→ 和 ⊢ 的区别的框架, 或者认为证明只是详细写出的定理, 都是狭隘的看法. 「→ 和 ⊢ 的区别就是定理和证明的区别」这种想法可能只是命题逻辑和谓词逻辑这个框架带来的固有观念, 从逻辑公理和非逻辑公理出发, 按照推理规则罗列逻辑式就是「证明」, 出现在「证明」最后的逻辑式就是「定理」, 这种理解是不充分的, 我们可能还没有掌握适当地表达定理和证明关系的语言.

在本章开头, 我讨论了语义学和句法学的区别. 无论语义学和句法学的区别是否明确, 确实「语义学和句法学」的二元对立是洞察数学世界的一个坐标轴[18]. 但是, 「定理和证明」的二元对立可能是解读数学世界的另一个坐标轴. 可能有一些东西要同时使用这两个坐标才能看到[19]. 例如, 同时使用这两个坐标轴, 就会发现「证明」没有语义学[20]. 命题逻辑和谓词逻辑只具备命题的语义学, 谓词逻辑中不存在「错误的证明」, 因此不需要「证明」的语义学[21]. 只要证明被定义为有限的逻辑式序列, 证明的意义就要基于逻辑式的意义来确定, 就没有证明本身语义学存在的余地. 谓词逻辑语义学的存在与证明能够用有限的逻辑式序列形式化表示这一信念是成对出现的.

证明确实有意义, 数学家讨论证明的真伪. 本来, 命题的正确性应该由证明的正确性赋予. 基于命题的正确性讨论逻辑公理和推理规则的辩护, 因果关系可能是颠倒的[22].

9.5 数学式纯真

蒯因曾论证, 在分析真理和综合真理之间存在根本鸿沟的信念只不过是教条. 在这个论证中, 他提出了将定义分为三类的观点[23]. 一类是「同义性报告」, 阐明我们模糊持有的同义性观念. 另一类是卡尔纳普所称的「阐明 (explication)」, 分析某个词语的意义或用法, 准确界定这个词语的意义, 有时还会扩展其意义. 这在哲学中有很多例子. 最后一类是作为表达简化引入新词语, 可以称为「命名」.

但是, 在「阐明」中, 被定义词语和定义条件的同义性是通过给出定义才首次意识到的. 因此, 「阐明」与「命名」具有相似性, 这两类定义与「同义性报告」有很大不同. 但是蒯因认为, 即使在「阐明」中, 也存在包含被定义词语和定义条件的语境. 在这个语境中, 被定义词语和定义条件都被赋予意义, 并通过参考这个意义, 「阐明」才作为定义被接受. 也就是说, 蒯因指出,「阐明」也跟「同义性报告」一样, 在给出定义之前就预先假定了对被定义词语意义的理解.

一般来说, 数学家认为「命名」才是定义, 而「同义性报告」和「阐明」是模糊不严谨的论证, 因此不喜欢它们. 哲学中充斥着作为「阐明」定义, 这可能是数学家不喜欢哲学的一个原因. 不过, 「阐明」本来就是试图将模糊的概念明晰化的尝试, 在「阐明」的过程中包含不明晰的部分是理所当然的. 需要区分讨论对象不明晰和讨论本身不明晰. 实际上, 在数学中作为「阐明」的定义也并不罕见, 而且「阐明」和「命名」的区别本身也不明确. 例如, 丘奇-图灵论题无疑是对可计算性概念的阐明[24], 但将到两点距离之和为常数的点集定义为「椭圆」是否属于椭圆概念的「阐明」则不甚明了[25]. 总之,「阐明」这个概念本身就不明确, 对具体的个别定义询问是「阐明」还是「命名」并没有太大意义.

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