数学哲学译文丨形式主义的两个教条（二） (7-7)

40. 任何认真学习过数学的人, 都可能感觉到证明不是单纯的计算, 而是某种故事. 斯图尔特在 [217] 的 p.166 中说「证明就是故事」. 然而, 一旦被问到「什么是证明」, 就会想起真理啊规则啊等许多深奥的哲学词汇, 同时将证明作为故事的感觉也失去了. 不过, 并非证明本身就是故事, 而是无论什么话题, 我们在发现故事性时就会感到「懂了」. 野家啓一在 [78] p.66 中将「故事」定义为「通过连接时间上相隔的多个事件来组织经验的语言行为」, 并在 [77] p.260 中这样说:「如果把『虚』与『实』之间的双义空间称为『故事』, 那么『故事』不仅对文学, 对科学也是不可或缺的元素. 这样的话, 分析『故事』的产生及其结构就是哲学的任务. 科学、文学和哲学被『故事』这面半透明的墙隔开, 同时也因为脚踏『故事』这片共同的大地而从根本上联系在一起.」

41. 有一种称为集合论多元宇宙的观点认为, 数学世界不是单一宇宙 (universe), 而是构成多元宇宙 (multiverse), 我们无法知道自己处在数学世界的多个宇宙中的哪一个. 关于集合论多元宇宙, 可以参考 Hamkins [159], Fuchino [149] 等文献.

42. 在证明论中也存在类似的思想. 例如, 关于试图证明算术无矛盾性的证明论尝试, 新井敏康在 [7] p.93 中这样说:「…如果试图证明无矛盾性的公理系统比自然数论强得多, 能处理无穷, 那么考虑该证明的哲学意义就会变得更加困难. 于是我想这样考虑: 由于不完备定理的限制, 必须找到新的原理, 才能证明更强公理系统的无矛盾性. 这里的每一次都是在黑暗中跳跃, 正因如此才有趣. 也就是说, 证明无矛盾性是作为数学家的逻辑学家面临的一系列数学上困难的问题.」这是证明论中的数学实用主义.

43. 具体请参考戸田山和久 [74, 75], 松原洋 [100].

44. 蒯因在《经验主义的两个教条》[31] 中提出了导向「整体论」的「向实用主义转向」, 但是关于整体论, 达米特在 [68] p.299 中给出了「像整体论这样的悲观主义」这样的说法. 这里介绍的两种实用主义, 作为数学确实是实用主义而绝非悲观主义, 但作为哲学可能仍然是一种悲观主义.

45. 9.4节的脚注17中我写道, 形式主义认为命题先于证明而存在, 而直觉主义可能认为证明先于命题而存在. 如果这种观点是合理的, 那么如果停止追问命题和证明哪个先存在, 形式主义和直觉主义之间的对立似乎就会消失很大一部分.

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