数学哲学译文丨形式主义的两个教条（二） (7-6)

35. 许多教科书都是在这个信念下编写的. 例如, 鹿島光在 [21] p.18 的下划线部分这样说:「任何现实的证明都可以转写成自然演绎的推导图, 反之自然演绎的推导图都可以直译回现实的证明.」不少数学基础论专家可能赞同这种观点. 但这种观点并非全部. 例如, 新井敏康在 [8] p.x 中这样说:「数学中『可证明』这个直观概念, 可以替换为形式概念『在一阶逻辑中可证』. 或者不如这样说: 原则上能用一阶逻辑表达, 但无法写出其形式证明的数学真理是不存在的, 这可能已经成为数学的『定义 (的一部分)』了.」新井敏康的这番话给人一种似乎在高调宣布「形式化的数学才是数学」的印象, 但仔细阅读就会发现, 这番话只由「存在朴素证明与存在形式证明是等价的」「数学真理能用一阶逻辑形式化表达, 并且形式可证」这两个主张构成, 其中并不包含「朴素证明与形式证明可以等同」这一主张, 甚至不包含「朴素证明可以逐字翻译成形式证明」这种温和的主张. 将朴素证明与形式证明等同, 被飯田隆在 [11] 中称为「肤浅的形式主义」, 这会导致将数学与形式化的数学等同, 且八杉満利子在 [106] 中强调了理解不完备定理时区分数学与形式化数学的重要性. 本橋信義在 [103] 中进一步讨论了命题与形式化命题的区别. 但是, 即使区分朴素证明与形式证明, 在将数学基础论视为数学的立场下, 也可以对朴素证明保持无所谓的态度.

36. 但是, 如果回顾 Kreisel 多次提醒注意朴素证明与形式化「证明」的关系, 对这个问题失去兴趣可能只是最近的趋势. 例如, Kreisel 在 [179] 的开头明确区分了直观证明, 即朴素证明, 和形式证明, 并写道:「在当前, 证明论若要继续存在, 就不得不与直观证明发生关联.」然而, 至少在当前作为数学的数学基础论中, 像 Kreisel 这样的言论和讨论很少成为话题.

37. 当然, 公理这个概念本身从很早就为人所知. 但是, 这里所说的公理化方法是指林晋・八杉満利子在 [83] p.125 中所说的, 源自希尔伯特的公理化方法:「以公理为起点, 通过演绎来构建数学的方法, 是自古希腊欧几里得几何学以来极其古老的方法. 希尔伯特表明, 这种公理化数学可以为与传统欧几里得几何学本质不同的目的, 且以本质不同的方式实现.」例如, 斯宾诺莎的《伦理学》即使是以「从定义和公理出发, 演绎地推导出定理」这种在现代数学中普遍见到的公理化方法展开, 也决不会被认为是在进行数学讨论. 但是, 如果遵循希尔伯特的公理化方法, 不管有没有价值, 总之可以展开数学讨论. 另一方面, 如果比较《伦理学》和欧几里得的《几何原本》, 确实可以看出《伦理学》是在模仿《几何原本》.

38. 例如, 自然数集 ω 的幂集 P(ω) 具体是什么, 取决于在什么样的 ZF 模型上考虑 P(ω), 因此无法确定唯一不变的绝对的 P(ω). 关于集合论相对主义有各种讨论. 具体请参考出口康夫 [71], 夏皮罗[45] pp.52-54, 普特南 [202].

39. 该立场源于斯科伦. 参见金森 [22] p.4.

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。