数学哲学译文丨形式主义的两个教条（二） (7-5)

22. 这个问题与「因为为真所以可证, 还是因为可证所以为真」这个问题有关. Tait [220] 将这个问题命名为真理/证明-问题 (Truth/Proof problem), 并讨论了这个问题与数学柏拉图主义的关系.

23. 具体参考 W.V.O.蒯因 [31] pp.37-41.

24. 但是丘奇-图灵论题没有被称为「定义」.

25. 即使这个「椭圆」的定义是对椭圆概念的「阐明」, 在证明了空间中圆柱与平面相交的图形是这个定义下的椭圆之后, 如果将这个条件规定为「椭圆」的新定义, 那么这个新定义是「阐明」还是「命名」就更加模糊了. 关于这两种椭圆定义的关系, 达米特在 [68] pp.284-285 中进行了讨论.

26. 例如, 在数学中经常出现的作为概念扩张的定义, 就很难归类到这三种中的任何一种. 关于概念扩张, 可以参考八杉満利子 [107, 108] 对戴德金讨论过的数学中概念扩张的分析.

27. 小平邦彦在 [34] p.182 中这样说:「在希尔伯特的几何学基础论中, 『点』和『直线』等是没有意义的未定义词, 用『鲸』和『猪』等替换也完全没有问题, 但是当我们证明例如『三角形内角和等于两个直角』这个定理时, 还是要在纸上画出或在头脑中想象三角形, 如果看着三头鲸和三只猪的图画是不可能证明的.」不去想点和直线这些词的意义就证明勾股定理确实是不可能的. 但是, 如果画的是鲸和猪的图画, 那本来就不是将「点」和「直线」视为未定义词用「鲸」和「猪」替换. 而且, 所有定义都可以解释为「命名」是指, 必要时可以忘记「点」和「直线」这些词的意义, 而不是真的完全忘记.

28. 当然, 所有理论都使用语言来解释, 原则上理论也可以表示为逻辑式的集合. 从这个角度考虑, 将逻辑式的集合称为「理论」是理论这个词的意义扩展, 也不是不能认为「理论」的定义是「阐明」. 例如, 可以参考吉田夏彦 [111] pp.300-301.

29. 例如参考八杉満利子 [106].

30. 江田勝哉在 [14] pp.104-105 中讨论了不完备定理之所以难以理解的原因在于「证明」与本来意义上的证明之间的关系难以把握.

31. 「从适用范围的广泛性和对多种情况的适应力来说, 肉眼远远优于显微镜. … 然而, 一旦出于科学目的需要更高的分辨力, 肉眼的不足就会变得明显. 相比之下, 显微镜正好完全符合这些目的. 但这也正是它不适合其他目的的原因.」参见飯田隆 [9] p.36.

32. Barwise [120] p.294.

33. 「究竟什么是对某个命题 S 的严格的数学证明呢? 对这个问题有一个明确、无歧义的标准答案, 这是相当令人惊讶的. 为了证明 S, 必须表明 S 是根据纯粹的逻辑从数学的基本原理推导出来的. 能够以恰当的意义准确地说「纯粹的逻辑」是什么, 即一阶谓词逻辑, 这是现代逻辑学的重大成果之一. 而能够准确地说「数学的基本原理」是什么, 即集合论 ZFC 的公理, 这是相当惊人的事实.」Martin [190] p. 216.

34. 例如可以参考金田一春彦 [25] 下卷 p.222 和金谷武洋 [23]. 相反, 也有为日语中的主语辩护的讨论. 例如可以参考小池清治 [32] pp.161-165.

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