数学哲学译文丨形式主义的两个教条（二） (7-3)

3. 这一点在所谓的希尔伯特式的命题逻辑形式化中尤为明显. 不过, 对于自然演绎, 这一观察可能并不完全成立. 此外, 布劳威尔在 [129] p.58 (或 [124] p.81) 中指出, 「形式主义者想要把语言、公理和推理规则的选择留给心理学家. 但心理学家没有开始这项工作, 所以他们自己在做.」这句话听起来像是毫无根据的诽谤. 但我们可以将其理解为一个问题, 即如果要分离句法学和语义学, 那么语言、公理和推理规则的选择应该有与真假的概念无关的根据, 如果不诉诸心理学, 是否就无法在与真假的概念无关的情况下为语言、公理和推理规则的选择提供根据?

4. 参考飯田隆 [10] pp.12-20.

5. 参考飯田隆 [10] pp.26-35 以及 p.171 注释 (11).

6. 参考飯田隆 [10] pp.126-127 以及 p.171 注释 (11).

7. 参考 W.V.O.蒯因《经验主义的两个教条》[31] pp.31-70 以及飯田隆 [10] 第3章.

8. 这些新逻辑包括直觉主义逻辑、各种模态逻辑和亚结构逻辑等，与之相关的新语义学包括多值逻辑 (取「真、假」以外的真值)、代数语义学和克里普克的可能世界语义学等. 它们无疑都是革新性的和重要的, 但它们的语义学和句法学可以在经典语义学和句法学的框架内被理解, 从这个意义上说, 它们是合乎情理和常识的. 关于这些新逻辑, 可以参考小野寛晰 [19]、古森雄一・小野寛晰 [36] 等文献.

9. 作为具有本质上新颖语义学和句法学的逻辑的例子, 可以列举由武丁提出的 Ω-逻辑, 它源自试图解决连续统假设的尝试, 而不是将哥德尔和科恩给出的连续统假设在ZF中的独立性视为连续统假设的最终解决. Ω-逻辑也有语义学和句法学, 但根据我们的常识理解, 要接受它们就是语义学和句法学并不容易. 关于 Ω-逻辑, 请参考 Woodin [230]、依岡輝幸 [114]、Larson [184] 等文献.

10. 皮尔士曾表示「逻辑学是推理的艺术 (Logic is the art of reasoning)」(Peirce [199]) , 他对逻辑学有更广泛的理解.

11. 关于溯因, 皮尔士本人用「桌上的白色豆子」所做的解释很有名. 从金星位置的观测值推断出行星轨道为椭圆形的推理是典型的溯因. 不过, 也有观点认为溯因和归纳在本质上没有区别; 关于溯因的详细内容, 请参阅米盛裕二 [113], 汉森 [85] 第四章, Flack and Kakas [144] 等文献.

12. 有代表性的是与逻辑编程相关的讨论. 请参阅井上克巳 [13] 等文献. 此外, 提出一般设计学和人工物工学的吉川弘之认为, 工程设计中的推理的本质在于溯因. 请参阅吉川弘之 [110] pp.74-77.

13. 当然, 这个图式过于简单化了. 一种常见的观点是, 从背景理论 T 和观察到的事实 G 推导出 Δ, 使得 T ∪ Δ 无矛盾且 T ∪ Δ ⊢ G 成立, 这样的推理就是溯因. 详情请参阅 Flack and Kakas [144] p.13.

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