C(n)基数（二） (10-3)

因此，如果Y在jE和λ序列下是闭的，那么可以如上所示ME在λ序列下是闭的。请注意，对于每个μE C（1）和每个κ，ζ，Y，E，Vμ，我们有:E是Vζ上具有临界点κ的扩张子，且当且仅当VμV | =“E是Vζ上的扩张子Vζ带有临界点κ并支持Y”。而且，（jE（κ））μ= jE（κ）。因此，对于n ≥ 1，κ是λ-C（n）-超紧当且仅当eμee ey eζ（μe c（n）λ，e，y e vμ是传递的【y】≤λ⊆yvμ| =“E是Vζ上的延拓子，具有临界点κ并支持Yˇ]⊆yˇje（κ）》λˇje（κ）e c（n）“。由此可见，对于n ≥ 1，“κ是λ-C（n）-超紧”是σn+1可表示的。因此，“κ是C（n）-超紧”是пn+2可表示的。因此，对于n ≥ 1，如果κ是C（n）-超紧且α是C（n+1）中大于κ的任意序数，则vα| =“κ是C（n）-超紧”。此外，由于对于每一个n，“eκ（κ是C（n）-超紧）”是σn+3可表示的，所以第一个C（n）-超紧基数是不属于C（n+3）。但是我们不知道例如第一个C（1）-超紧基数是否属于C（3）。我们也不知道C（n）-超紧基数是否形成了一个强意义上的层次结构，也就是说，如果第一个C（n）-超紧基数小于第一个C（n+1）-超紧基数，对于所有n。每个可扩展基数都是超级紧凑的，第一个可扩展基数要大得多比第一个超级契约（见【5】），但我们不知道对于n ^ 1，是否每个C（n）-可扩展基数都是C（n）-超紧基数，或者第一个C（n）-可扩展基数是否实际上大于第一个C（n）-超紧基数。然而，由于每个C（n ）-可扩展基数属于C（n+2）（命题3.4），第一个C（n）-超紧基数小于第一个C（n+1）-可扩基数，假设两者都存在。到目前为止，我们所知的唯一上限，在通常的大型基数等级中，在对于n-1，C（n）-超紧基数的存在的一致性强度是E0基数的存在性（见节）。7).

6，巨大的和超巨大的基数

回想一下，基数κ是M-巨大的，对于m 1，如果它是初等嵌入j V M的临界点，其中M是传递的并且在jm（κ）-序列下是封闭的，其中JM是j的第M个迭代。基数如果是1-巨大的，则称为巨大的。定义6.1我们说一个基数κ是C（n）-m-huge（n≥1）如果它是m-huge，由j见证，其中j（κ）e C（n）。我们说κ是C（n）-巨大的，如果它是C（n）-1-巨大的。与C（n）-超紧基数不同，C（n）-超紧基数不允许用超滤子来刻画，而只能用长扩张子来刻画。即:κ是C（n）-m-huge当且仅当它是不可数的，并且在某些（λ）和基数上存在κ-完全精细正规超滤子κλ0《λ1《λmλ，其中λ1为C（n），并且使得对于每个I《m，{ x e P（λ）:ot（x∩λI+1）=λI } e u。（参见【5】，24.8证明了n ^ 1的情况，这也适用于任意n .）由此得出“κ是C（n）-m-huge”是σn ^ 1可表示的。显然，每个巨大的基数都是C（1）-巨大的。但是第一个巨大的基数不是C（2）-巨大。因为假设κ是最小的基数，并且j V M证明κ是C（2）-大基数。那么因为“x是巨大的”是σ2可表达的，我们有VJ（κ）| =“κ是巨大的”。因此，由于（Vj（κ）M = Vj（κ），m | =“eδ《j（κ）（Vj（κ）| =“δ是巨大的“）”。

根据初等性，V中有一个小于κ的大基数，这是荒谬的。

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