一直对quantale理论,尤其是integral quantale颇感兴趣。
我了解到quantale这一类代数结构是在了解环的理想的乘法与加法时。当时我思考了一个问题:环的理想的行为(即在乘法与加法下的表现)会在何种程度上决定环本身的行为?
后来查到资料得知,环的所有(双边)理想的集合在乘法与加法构成了一个quantale,隧对这类结构产生了兴趣。
数学:格论:
Ouantale 理论是由 Mulvev 于1986年提出的”,其目的是为量子力学提供新的数学模型,已在环的理想、线性逻辑和理论计算机科学等领域中有着广泛的应用”。理想在代数结构的刻画中起着重要作用文献[5]将 Quantale 中序结构与代数结构相结合给出理想的新定义,进而得出了理想成为素理想的条件”利用模糊集和粗糙集,人们把序代数的理想推广至模糊理想和粗糙理想的情形,得到了若干重要结果(79)L-模糊集是模糊集的推广形式,文献[10]讨论了半环的 L-模糊理想的范畴的性质,文献[11]引入了 L-quan-tum空间。本文中,借助L-模糊集,在Quantale 中引入L-模糊理想的概念,将理想和模糊理想纳入到统一框架中。同时,讨论这些L-模糊理想的性质和等价刻画,以期促进 Quantale 理论更好地应用于理论计算机科学。
1 预备知识
为了方便起见,首先介绍Quantale、Quantale的理想和L-模糊集等概念,有关格论的知识,请参看文献[12]。
定义1[1]设Q是完备格,&是Q上的二元运算且满足:
(1)∀α,b.c∈Q,(α&b)&c=α&(b&c);
(2)∀α∈Q,|bᵢ|ᵢ∈ₗ ⊆ Q,α&(∨ᵢ∈ₗbᵢ)=∨ᵢ∈ₗ.(α&bᵢ),(∨ᵢ∈ₗbᵢ)&α=Vᵢ∈ₗ(bᵢ&α),则称(Q,&)是Quantale.
定义2[5] 设 l 是 Q 的非空子集,若
(1)∀α,b∈l,α∨b∈l;
(2)∀α∈l且b ≤ α,b∈l;
(3)∀α∈l,∀b∈Q,α&b,b&α∈l,则称 l 是 Q 的理想。进一步地,若 l ≠ Q,则称 l 是 Q 的真理想。
定义3[6] 设 l 是 Q 的理想,∀α,b∈Q,
(1)若 l ≠ Q 且当α&b∈l 时,α ∈ l 或b∈l,则称l 是 Q 的素理想;
(2)当α&α∈l时,α∈l,则称 l 是 Q 的半素理想;
(3)若 l ≠ Q,当 α&b∈l且 α ∉ l 时,存在正整数 n 使bⁿ∈l,则称 l 是 Q 的预理想。这里bⁿ=b&b&· · ·&b。
︸
n个
定义4[5]设A ⊆ Q,称包含 A 的最小理想为由 A 生成的理想,记作〈A〉。特别地,当A=|α|时,将〈|α|〉简记为〈α〉。
设X是非空集合,(L,≤,0,1)是完备格,这里0和1分别表示 L 的最小元与最大元,则称映射f:X→L为X上的L-模糊集[13]。X上的全体L-模糊集之集记作.𝓢 ʟ(X)。∀f,g ∈𝓢 ʟ(Q),VxeQ,定义
(f∧g) (x)=f(x)∧g(x).
(f∨g) (x)=f(x)∨g(x),
(f&g) (x)=∨(f(y)∧g(z)),
y&z=x
f ⊆ g 当且仅当 f(x) ≤ g(x)。
设入λ∈L,定义xλ ∈ 𝓢 ʟ(Q)如下:
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