数学联邦政治世界观
超小超大

Cauchy-Davenport定理 (3-1)

对于群(G,+) 上的两个非空集合 A,B ,我们定义他们的Minkowski 和为

A+B:={α+b:α ∈ A,b ∈ B}

那么给定|A| 和 |B| , |A+B| 至少有多大呢?这个问题是堆垒数论,加性组合等领域的重要问题之一。历史上,这类问题也曾被称为 α+β 问题;Mann [1]因为在 density 意义下证明了 α+β 问题而获得了 Cole 数论奖。

当我们将群选取为(ℤ,+) 时,只应用小学数学知识,可以很容易的证明下述结论。

Observation:如果 A 是整环 ℤ 的非空有限子集。那么 |A+A| ≥ 2|A| – 1 。

证:由于 A+A 包含 A+min A 以及 A+max A 于是命题显然。这里 min A,max A 指 A 中的最小元素和最大元素。

但是对于一般的群,这个问题就变得没那么显然了。比如对于一个和整数很像的群ℤ/pℤ ,即素数阶循环群。这时候群上的两个集合的Minkowski和最小是多少呢?这个就是著名的Cauchy-Davenport定理:

定理(Cauchy-Davenport):如果 A,B 是 ℤ/pℤ 中的两个非空子集,那么 |A+B| ≥ min{|A|+|B| – 1,p}.

Cauchy-Davenport定理虽然和最上面提到的整数上的现象十分相似,但是证明的难度却相差很多。目前最简单的证明是通过 Nullstellensatz 来证(见 Yifan:我的Prelim考试试题)。

那么对于其他的群呢?

一般的,我们用(G,·) 来表示一个群,于是Minkowski和的定义变为了 AB={αb:α ∈ A,b ∈ B} 。

集合的大小实际上是离散拓扑下的测度。对于局部紧群,我们都有唯一的Haar测度。于是在这种群上我们都可以问,AB 的测度最小是多少呢?

为了简单起见,我们假设A,B 均为紧集,这时候 AB 也是紧集,于是可测。(一般的,如果 A,B 两个集合均可测, AB 不一定可测。学过实分析的同学可以尝试自己构造一下)

如果我们的群G 不包含任何有限正测度子群:即对任意子群 H ,要么 H 零测,要么 H 测度是无穷。这时候,直觉上群中的子群对 AB 的测度大小的影响比较小。比如欧氏空间 ℝⁿ 中,我们有 λ(A+A) ≥ 2ⁿλ(A) ,其中 λ 是 ℝⁿ 上的一个Lebesgue测度。可以看到,这时 A+A 的测度相对于 A 的测度增长很快。这个不等式也被称为Brunn-Minkowski不等式,在几何中有很多应用。这个方向在一般群上的进展也是我和朋友之前证明的一个结果,详见 Yifan:一个Brunn-Minkowski不等式 。

这里我们主要考虑的情况是,在群G 包含有限正测度子群时, A+B 的测度可以有多小。容易看出,假设 H 是某个正测度紧群,且 A=B=H ,那么有 μ(AB)=μ(A)=μ(B) 。这时我们看不到 AB 在测度意义下有任何扩张。(这里 μ 是一个左Haar测度。)

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