CAT空间 (2-2)

（1）对于任意一对点x，y ∈ X 的测地线（若 κ＞0 要求 d(x，y)＜Dκ），存在惟一连接它们的测地线，且该测地线随其端点连续变化.

（2）在X 中任一长度至多为 Dκ 的局部测地线是测地线.

Dκ

（3）在X 中半径小于 ── 的球是凸的

2

，即球中任意两点可由惟一包含于该球的测地线连接.

（4）在X 中半径小于 Dκ 的球是可缩的.

（5）对于任意λ＜Dκ 和 ε＞0，存在 δ＝δ(κ，λ，ε) 使得若 m 是满足 d(x，y) ≤ λ 的测地线 [x，y] ⊂ X的中点，且

max{d(x，m')，d(y，m')}

1

≤ ─ d(x，y)＋δ.

2

则d(m，m')＜ε.

推论 4. 对于 κ ≤ 0，任意 CAT(κ) 空间是可缩的. 特别地，它是单连通的且其高阶同伦群都是平凡的.

参考

1. 参见 Metric Spaces of Non-positive Curvature, Ⅰ.2.13, Bridson 和 Haefliger 著

2. 即任意距离小于 D_κ 的两点可由测地线相连

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