Stewart Shapiro SEP原文（一） (10-2)

特别地，Benacerraf认为，自然数不应该等同于任何集合论对象；事实上，它们根本不应该被当作对象。相反，数字应该被视为“结构中的位置”，例如，在“自然数结构”、“实数结构”中等。关于这些位置最重要的是它们的结构属性，即那些“源于它们由于被安排在一个数列（progression）中而彼此承担的关系”(1965: 70)，而不是von Neumann序数、Dedekind分割等进一步的集合论属性。沿着这样的思路，我们在现代数学中研究和试图描述的，是相应的“抽象结构”。正是在这个意义上，Benacerraf提出了关于数学的结构主义立场。不过，这个立场的细节还没有定论，有些模糊，当然，这包括除了不能把它们等同于集合论关系系统（由作为论域的集合，以及在其上定义地集合论关系和函数所组成的系统），我们最后应该如何思考Benacerraf的抽象结构。

20世纪60年代对结构主义兴起有影响的第二篇文章是Hilary Putnam的“Mathematics without Foundations” (1967)。和Benacerraf的情况一样，对Putnam来说，衬托的是集合论基础主义的立场。这一立场有时（尽管并不总是）被理解为实在论意义上的立场（如Gödel），即描述一个独立的抽象对象领域，即被Zermelo-Fraenkel公理所刻画的集合的宇宙。为了反对这一立场，Putnam提出了“if-then-ism”的一种形式（可以追溯到Russell）。这种选择又可以用自然数来说明。一个算术定理，比如说“2+3=5”，如今应该如何处理？应该分析为具有这样的形式：

对于所有的关系系统M来说，如果M是Dedekind-Peano公理的一个模型 [算术的基本公理]，那么：2ᴍ＋3ᴍ＝5ᴍ

（其中2ᴍ 、 3ᴍ 和 5ᴍ 是模型M中2、3和5的“所扮演的角色”）。对于实数也是如此（详见Reck & Price 2000）。

与其在这方面谈论if-then-ism，不如把Putnam的立场也描述为一种“全称主义结构主义（universalist structuralism）”（再次参见Reck & Price 2000），因为它涉及到对相关系统的全称量化，而且我们上面的两个结构主义口号似乎得到了满足。对这一立场的反对意见往往是“非空性问题”。它是基于这样的观察，如果没有任何东西能满足前件，例如，如果没有Dedekind-Peano公理的模型，那么给定形式的if-then语句就是空洞的真。（例如，“2+3=6”的情况也是如此，总体结果显然是不可取的。) 作为回应，人们可以援引公理集合论来提供所需的模型。但从Putnam的观点来看，这有两个缺点。首先，它依赖于一个关于集合论的实在论和基础主义的观点 ，它似乎因此而破坏了if-then-ism的要旨。第二，也是更基本的，它迫使我们以循环的痛苦为代价，将集合论与其他数学理论区别对待。作为摆脱这些困境的方法，Putnam建议采用模态逻辑。然而，特别是对于集合论的情况，细节又是悬而未决的，基本上没有探讨。

1.2 1980年代的巩固与进一步讨论

理解Benacerraf在1965年的文章中的讨论的一种方法是，他建议把自然数结构作为不同于集合论对象和对象系统的一种新的抽象实体。那么，一切都取决于这究竟相当于什么，包括是否应该把这种结构作为对象本身来对待，从而以某种实质性的、尚待解决的方式重新确定（reify）它们。Benacerraf本人不愿意做后者，这与他对谈论数学对象时的总体犹豫不决是一致的。

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