Stewart Shapiro SEP原文（一） (10-1)

注意：一共划分为（1/2）

First published Mon Nov 18, 2019

by Erich Reck ＜erich.reck@＞

Georg Schiemer

＜georg.schiemer@univie.ac.at＞

译者： 彭柯尧（第3节） Meowth（第1、2、4节）

数学哲学中结构主义的两个相关口号是：“数学是对结构的一般性研究”，以及在从事这种研究时，我们可以“从例化这些结构的对象的性质中抽象出（这种结构）”。（因此，结构主义与其他几种关于数学的一般观点相对立，它们包括：认为数学是关于数和量的科学传统的观点；认为数学是主要用于计算的空洞的形式主义的观点；以及认为数学是研究一个基本的集合论宇宙的观点）。正如本考察所要表明的那样，这些口号虽然具有暗示性，但却模棱两可，需要澄清。事实上，人们对它们的解释是多种多样的，甚至是相互矛盾的。

结构主义观点在数学哲学中的引入通常被认为是发生于20世纪60年代，在Paul Benacerraf和Hilary Putnam的著作中；20世纪80-90年代，当Michael Resnik、Stewart Shapiro、Geoffrey Hellman、Charles Parsons等人加入战局时，这一趋势又有了起色；而在过去的20年中，由于对结构主义的一些哲学挑战和包括结构主义的范畴论形式等进一步变体的引入，这些争论又被重新改造。除了向读者介绍“数学哲学中的结构主义”这一总论题外，本论文的第二个主要目标将是为当今提出的结构主义种类提供一种新颖的、更广泛的、相对全面的分类法。

1. 取消式结构主义 vs. 非取消式结构主义

1.1 1960年代结构主义之争的开始

关于结构主义的讨论，作为英语圈数学哲学的一个主要立场，通常被认为始于20世纪60年代。这方面的一篇核心文章是Paul Benacerraf的“What Numbers Could Not Be”（1965；另见一篇后续文章Benacerraf 1996）。这篇文章的背景和衬托是当时占主导地位的立场，即公理集合论为现代数学提供了基础，包括允许我们用集合来等同于（identify）所有数学对象。例如，自然数0, 1, 2, ...可以等同于有穷von Neumann序数（始于用ф 代表0，且使用后继函数 f：x → x∪{x} ）同样，实数也可以等同于集合论上构造的Dedekind分割。那么，算术真理就是关于这些集合论对象的真理；而这一点可以推广到其他数学理论，所有这些理论的对象也被认为是集合。

Benacerraf认为，这种集合论基础主义（foundationalist）的立场歪曲了算术的结构主义特征，尤其是歪曲了更一般性的数学的结构主义特征。首先，代替有穷von Neumann序数，我们可以用有穷Zermelo序数（始于用ф 代表0，但用另一种后继函数 f：x → {x} ）来实现同样的作用；还有无限多的其他选择是与之等价的。同样的，我们也可以用Cantor等人提出的基于有理数上Cauchy序列的等价类，在集合论基础上构造实数，而不是用Dedekind分割。这个基本的观察是很难否认的，甚至集合论者的基础主义者也能同意这个观点（下面再谈）。但是Benacerraf从这个基本观察中得出了一些进一步的、更有争议的结论。

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