数学哲学译文丨综合数学简介 (4-3)

即使我们只关心综合理论的一个模型，模块化仍然可以使我们的生活更轻松，因为综合理论可以形式地封装常见的引理或论证风格，而在分析理论中，我们必须不断地手工证明这些引理或论证风格。例如，正如综合拓扑学中的每一个对象都是“拓扑的”一样，它们之间的每一个“函数”都自动保持这种拓扑（是“连续的”）。因此，在综合拓扑学中，每个 ℝ → ℝ 的函数都自动是连续的；所有的连续性证明都被“打包”到分析拓扑学是综合拓扑学的模型这个单一证明中。（如果我们想的话，我们仍然可以谈论不连续的函数；我们只需要非离散地重新拓扑化 ℝ。因此，综合拓扑学颠倒了分析拓扑学的情况：不连续函数比连续函数更难谈论）。

与模块化的论点相反，哲学论点则认为数学的基本对象实际上是，或者应该是，某个特定综合理论的对象。如今很难找到持这种观点的数学家（集合论除外），但从历史上看，我们可以发现很多持这种观点的数学家参与了20世纪早期的伟大基础论战。诚然，用现代数学语言对100年前数学家的信仰做任何精确的断言都是很危险的，但我认为回顾过去，可以说伟大的基础论战的争论点之一是应该用哪种综合理论作为数学的基础，或者换句话说，数学的基本对象应该是什么样的。当然，这对于参与者来说是不明显的，除其他原因外，许多人对他们理论的基本对象都使用了相同的词（如“集合”）。（另一个原因是，争论的问题之一是数学基础应该建立在精确定义的规则或公理之上的观点，今天大多数数学家认为这是理所当然的）。但从现代的角度来看，我们可以看到（例如）布劳威尔的直觉主义实际上是一种综合拓扑学，而马尔可夫的构造主义递归数学是一种“综合可计算性理论”。

在这些情况下，选择这种综合理论的动机显然在很大程度上是哲学的。俄罗斯构造主义者之所以以他们的方式设计他们的理论，是因为他们认为一切都应该是可计算的。同样，布劳威尔的直觉主义可以说是受到一种哲学信念的驱动，即数学中的一切都应该是连续的。

（我希望我能写更多关于后者的内容，因为它真的很有趣。直觉主义之所以是非经典的，主要是因为选择序列：无限序列的每个元素可以由某个“创造主体”“自由选择”，而不是由规则提供。布劳威尔从中得出的具体结论是，这样的序列上的任何操作都必须至少在阶段上是可计算的，只使用有限的初始段，因为我们不能要求创造主体一次性做出无限次的选择。但这正好意味着，对于序列空间上的适当拓扑，任何这样的操作都必须是连续的。这也与开集作为“观察”或“可验证陈述”的观点很好地联系起来，这在另一个帖子中提到过。然而，从我为这本书写的章节的角度来看，这个介绍的目的是为讨论HoTT/UF作为无穷群胚的综合理论奠定基础，而布劳威尔直觉主义将是一个实质性的题外话。）

最后，还有实用主义的观点。虽然模块主义者认为数学的基本对象实际上是集合，哲学家认为它们实际上是空间（或其他东西），但实用主义者说它们可以是任何东西：没有必要承诺一个单一的选择。我们做数学究竟是为了什么？一个原因是我们发现它有趣或美丽。但所有的综合理论可能都同样有趣和美丽（至少对某些人来说），所以只要我们喜欢，我们不妨研究它们。

我们研究数学的另一个原因是因为它在自身之外有一些应用，例如对物理世界的理论。现在可能会发生这样的情况，某个应用中出现的所有数学对象恰好都是（比如说）空间。（这可以说是基础物理学的真理。类似地，在计算机科学的应用中，出现的所有对象都可能恰好是可计算的。）在这种情况下，为什么不直接基于一个足够好的综合理论来应用，从而获得模块化的许多优势，而不关心我们的理论如何或是否可以在集合论中建模？

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