数学哲学译文丨综合数学简介 (4-2)

然而，ZFC并不是唯一可以这样使用的理论。虽然不是每一个综合理论都足够丰富，可以让所有的数学都在其中被编码，但集合论绝不是唯一拥有这种丰富性的理论。一个可能的变化是使用不同类型的集合论，如ETCS，其中一个集合的元素是“无特征的点”，它们只是相互区分，而不像ZFC那样由精密的分层成员结构标记每个个体。无论哪种“集合”都足以用于基础目的，而且每种集合都可以解释为另一种集合。

然而，我们现在关注的是更激进的可能性。一个典型的例子是拓扑学。在现代“分析拓扑学”中，“空间”被定义为一个点集，配备了一组称为开集的子集，它们描述了点如何连续地变化到彼此。（大多数分析拓扑学家，由于不了解综合拓扑学，会简单地把他们的研究对象称为“拓扑学”。）相比之下，在综合拓扑学中，我们假设了一个公理化的理论，与ZFC处于同一本体论层次，其基本对象是空间而不是集合。

当然，我们说基本对象“是”空间，并不意味着它们是配备有开子集的集合。相反，我们的意思是“空间”是一个未定义的词，理论的规则使这些“空间”或多或少地具有我们期望空间所具有的行为。特别是，综合空间有开子集（或者更准确地说，开子空间），但它们不是通过指定一个集合以及一组开子集来定义的。

事实证明，像综合集合论（ZFC）一样，综合拓扑学也足以编码所有的数学。这是真的，在一个平凡的意义上：我们从所有解析空间中找出那些非离散的子类，其中唯一的开子集是空集和整个空间。综合拓扑学中也可以定义“非离散空间”的概念，这样的空间的集合形成了一个类似ETCS的集合宇宙。因此，我们可以用它们来编码数学，完全忽略综合空间理论的其余部分。（关于离散空间也可以说同样的话，在离散空间中每个子集都是开的；但从综合的角度来定义和处理这些空间更难（虽然不是不可能）。离散空间和非离散空间之间的关系，以及它们如何立足于综合空间理论中，是综合内聚（cohesion）理论的核心，我相信 David 将在他关于几何哲学的章节中提到这一点)。

然而，一个不那么无聊的方法是直接将数学对象构建为空间。这是如何实现的？事实证明，我们用来构建（比如说）实数集合的基本构造，与作用于空间的构造有着高度的相似性。因此，在综合拓扑学中，我们可以使用这些构造直接构建实数空间。如果我们的综合拓扑学系统设置得足够好，那么产生的空间将表现得像分析实数空间（先构造实数的单纯集合，然后以开区间的并集作为其拓扑）。

下一个问题是，我们为什么要以这种方式做数学？有很多原因，但现在我认为它们可以分为三类：模块化、哲学和实用主义。（如果你能想到我忘记的其他原因，请在评论中提出！）

所谓“模块化”，我指的是程序员所说的那个：即使我们相信空间最终是从集合中分析性地构建出来的，隔离它们的基本属性并抽象地处理这些属性通常也是有用的。这样做的一个好处是通用性。例如，在欧几里得的“中性几何”（即不使用平行公设）中证明的任何定理，不仅在实数的有序对模型中是正确的，而且在各种非欧几何中也是正确的。同样，在综合拓扑学中证明的定理可能不仅对普通的拓扑空间是正确的，而且对其他变体理论如拓扑层、光滑空间等也是正确的。就像数学中经常发生的那样，如果我们只陈述我们需要的假设，我们的定理就会变得更加通用。

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