无穷基数（第二版本） (4-3)

(Ⅴ)λ称为强紧基数，如果任意集上的任一 λ— 完备滤子可扩充为 λ— 完备的超滤子 .

定义 4引入的五种基数都不小于弱不可达 ,有些还远远大于它 .

比如强紧基数就远比可测基数大 (虽然强紧的也是可测的，但若都存在，则有可测而非强紧的基数 ) .

关于这些大基数的性质和相互关系的讨论构成现代集合论的重要内容.

但下面将说明，若将 λ不可数的条件去掉 ,则 0兼有上述五种基数的所有性质 .

显然 ,对每个 n＜0，有 2n＜0，故 0是“强不可达” ；

按每个自然数是后继基数，认为其

“正则” ，则 0 前面的基数都是正则的，当然构成平稳集，故 0 是“ Mahlo” .

若承认选择公理，任意集上的滤子都可扩张成为超滤子.

而每个滤子按定义恰是 0— 完备的，故 0 是“强紧”的，自然也是“可测” 的.而 λ→ (λ)

2 是如下一个性质: 记 A是一基数 λ的集，〔A〕n 是 A的所有n元子集构成的集 .

若任意确定〔A〕

n的一个有限分划 {Xi，i＝1，… ， k },存在 A′ A，|A′|＝λ，使得〔A′〕n Xi 对某个 i (≤ k ) 成立，这个性质便记为：λ→ (λ)n.

由著名的 Ramsey定理〔4〕，知0 → ( 0 )2，故 0 是“弱紧” 的 .

由上可知，Mahlo基数，可测基数，强、弱不可达及强、弱紧基数的基本性质都是将 0的部

份性质抽象出来再将其推广到不可数无穷中而得到的.

然而，对集合论及元数学所使用的运算

和逻辑工具而言，这些无穷的层次都是无法构造的.

这也是“不可达” 的实际含义.

可是这些看

上去似乎大得不可思议的无穷层次，只不过是从有限到可数无穷，即从 n 到 0这一飞跃带来

的“副产品” 而已 .

从这个意义上讲，一百年前，当康托将可数无穷作为其思考和探索的对象时，他便自觉不自觉的为人类思想宝库增添了如此巨大的财富，以至一百年来，人们还远没有

将这些财富清点完毕，因此，集合论的产生是人类思想史上最伟大的飞跃 .

而从有限数 n 到 0是这个飞跃中最有意义的一步.

参考文献

1.夏道行，吴卓人，夏绍宗，等 .实变函数论与泛涵分析.北京：人民教育出版社，1979

2. Kunen K. Set Theory An Int coducti on to Independence Proofs. North- Holl and，1980. 16～ 34

3. Jech T. Set Th eory. AC ADEMIC PRES S，IN C，1978. 295～ 426

ON THE FIRST INFINITE CARDINAL

Gao Jinghua T ian Zhicheng

( Daxing 'anling Educati on College Jagedaqi 165000)

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